150. Алексей выходит из точки S и движется по дорожкам, которые показаны на рисунке. На каждой развилке Алексей равновероятно выбирает дальнейший путь, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он попадёт: а) в Новый посёлок; б) в болото; в) на почту или на станцию.

Решение:

Рассмотрим все возможные пути из точки S, учитывая, что на каждом разветвлении Алексей выбирает путь равновероятно (с вероятностью 1/2).

Схема путей:

Из точки S есть один выход, который ведёт к развилке. На этой развилке есть два пути. Пусть первый путь ведёт к развилке, где есть два варианта, и второй путь ведёт к развилке, где есть два варианта.

Путь 1: S → Развилка 1 → Развилка 2 → Новый посёлок

Вероятность выбрать первый путь из S = 1.

Вероятность выбрать первый путь из Развилки 1 = 1/2.

Вероятность выбрать первый путь из Развилки 2 = 1/2.

Вероятность попасть в Новый посёлок = \( 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

Путь 2: S → Развилка 1 → Развилка 3 → Болото

Вероятность выбрать первый путь из S = 1.

Вероятность выбрать второй путь из Развилки 1 = 1/2.

Вероятность выбрать первый путь из Развилки 3 = 1/2.

Вероятность попасть в Болото = \( 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

Путь 3: S → Развилка 1 → Развилка 3 → Роща → Почта

Вероятность выбрать первый путь из S = 1.

Вероятность выбрать второй путь из Развилки 1 = 1/2.

Вероятность выбрать второй путь из Развилки 3 = 1/2.

Вероятность выбрать первый путь из Рощи = 1.

Вероятность попасть на Почту = \( 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4} \).

Путь 4: S → Развилка 1 → Развилка 2 → Станция

Вероятность выбрать первый путь из S = 1.

Вероятность выбрать первый путь из Развилки 1 = 1/2.

Вероятность выбрать второй путь из Развилки 2 = 1/2.

Вероятность попасть на Станцию = \( 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

Проверка: Сумма всех вероятностей = \( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 \).

а) Вероятность попасть в Новый посёлок:

Из схемы видно, что до Нового посёлка ведёт только один путь.

\( P(\text{Новый посёлок}) = \frac{1}{4} \)

б) Вероятность попасть в болото:

Из схемы видно, что до болота ведёт только один путь.

\( P(\text{Болото}) = \frac{1}{4} \)

в) Вероятность попасть на почту или на станцию:

Это сумма вероятностей попасть на почту и попасть на станцию, так как эти события несовместны.

\( P(\text{Почта или Станция}) = P(\text{Почта}) + P(\text{Станция}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

Ответ: а) \( \frac{1}{4} \); б) \( \frac{1}{4} \); в) \( \frac{1}{2} \).