150. Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая AK, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = 6 см, KB = 7 см, KC = 9 см. Найдите: а) расстояние от точки K до плоскости прямоугольника ABCD; б) расстояние между прямыми AK и CD.

Обозначим \(AB=b\), \(AD=c\), а расстояние от K до плоскости прямоугольника — \(h\). По теореме Пифагора:

\(KD^2=h^2+c^2=36\), \(KB^2=h^2+b^2=49\), \(KC^2=h^2+b^2+c^2=81\).

Вычитая равенство для \(KB^2\) из равенства для \(KC^2\), получаем \(c^2=81-49=32\). Тогда из равенства для \(KD^2\): \(h^2=36-32=4\), следовательно, \(h=2\) см.

Прямые AK и CD перпендикулярны: AK перпендикулярна плоскости прямоугольника, а CD лежит в этой плоскости. Их общая перпендикулярная параллельна AD, поэтому расстояние между прямыми равно \(AD=c=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) см.

Ответ: а) 2 см; б) \(4\sqrt{2}\) см.