150. Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если: а) AB = 5 см, AC = 7,5 см, ∠A = 135°; б) AB = 2√2 дм, BC = 3 дм, ∠B = 45°; в) AC = 0,6 м, BC = √3/4 м, ∠C = 150°.

Обозначим \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\). Применяем теорему косинусов: сторона напротив известного угла находится из формулы \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\) (и аналогичных ей).

а) \(b=7.5\) см, \(c=5\) см, \(A=135°\). Тогда \(a^2=7.5^2+5^2-2·7.5·5\cos135°=81.25+37.5\sqrt2\), поэтому \(a\approx10.99\) см. Затем по теореме синусов \(\sin B=\frac{5\sin135°}{10.99}\), откуда \(B\approx18.75°\), а \(C=180°-135°-B\approx26.25°\).

б) \(a=3\) дм, \(c=2\sqrt2\) дм, \(B=45°\). Искомая сторона \(b=AC\):

\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=9+8-2·3·2\sqrt2·\frac{\sqrt2}{2}=5\), значит \(b=\sqrt5\) дм. По теореме синусов \(\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{3}{\sqrt{10}}\), откуда \(A\approx71.57°\). Тогда \(C\approx63.43°\).

в) \(b=0.6\) м, \(a=\frac{\sqrt3}{4}\) м, \(C=150°\). По теореме косинусов:

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=\frac{3}{16}+0.36+\frac{3\sqrt3}{20}=\frac{87+60\sqrt3}{240}\), откуда \(c\approx0.976\) м. Далее \(\sin A=\frac{a\sin C}{c}\), поэтому \(A\approx5.22°\), а \(B=180°-150°-A\approx24.78°\).

Ответ: а) BC ≈ 10,99 см, ∠B ≈ 18,75°, ∠C ≈ 26,25°; б) AC = √5 дм, ∠A ≈ 71,57°, ∠C ≈ 63,43°; в) AB ≈ 0,976 м, ∠A ≈ 5,22°, ∠B ≈ 24,78°.