150. Упростите выражение: а) ((2m + 1)/(2m − 1) − (2m − 1)/(2m + 1)) : (4m)/(10m − 5); б) (x + 3)/(x² + 9) · ((x + 3)/(x − 3) + (x − 3)/(x + 3)).

а)

Вычтем дроби в первых скобках, используя общий знаменатель:

\(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}=\frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)}=\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\).

Разложим знаменатель второй дроби и заменим деление умножением на обратную дробь:

\(\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}:\frac{4m}{10m-5}=\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{5(2m-1)}{4m}=\frac{10}{2m+1}\).

Ограничения: \(m\ne\frac12\), \(m\ne-\frac12\), \(m\ne0\). Первые два значения обращают исходные знаменатели в ноль, третье — делитель в ноль.

б)

Сложим дроби в скобках:

\(\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}=\frac{2(x^2+9)}{x^2-9}\).

Умножим и сократим общие множители:

\(\frac{x+3}{x^2+9}\cdot\frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2}{x-3}\).

Ограничения исходного выражения: \(x\ne3\), \(x\ne-3\).