151. Постройте график функции $y=-x^2+2x+8$ и найдите: а) значения функции при $x=2{,}5; -0{,}5; -3$; б) значения аргумента, при которых $y=6; 0; -2$; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции.

Question

Вопрос: $Фото задания: 151. Постройте график функции $y=-x^2+2x+8$ и найдите: а) значения функции при $x=2{,}5; -0{,}5; -3$; б) значения…$ Фото задания

151. Постройте график функции $y=-x^2+2x+8$ и найдите: а) значения функции при $x=2{,}5; -0{,}5; -3$; б) значения аргумента, при которых $y=6; 0; -2$; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции.

Accepted Answer

Преобразуем функцию: $y=-(x-1)^2+9$. Значит, вершина параболы — $(1;9)$, ветви направлены вниз.

а) Подставим заданные значения аргумента:

при $x=2.5$: $y=-(2.5)^2+2\cdot2.5+8=6.75$;
при $x=-0.5$: $y=-(-0.5)^2+2\cdot(-0.5)+8=6.75$;
при $x=-3$: $y=-(-3)^2+2\cdot(-3)+8=-7$.

б) Решим уравнение $-x^2+2x+8=c$ для каждого заданного значения $c$:

если $y=6$, то $x^2-2x-2=0$, откуда $x=1\pm\sqrt3$;
если $y=0$, то $x^2-2x-8=0$, откуда $x=-2$ или $x=4$;
если $y=-2$, то $x^2-2x-10=0$, откуда $x=1\pm\sqrt{11}$.

в) Нули функции: $x=-2$ и $x=4$. Поскольку парабола направлена ветвями вниз, функция положительна между корнями и отрицательна вне промежутка между ними.

г) Функция возрастает на $( -\infty;1]$ и убывает на $[1;+infty)$. Её множество значений: $( -\infty;9]$.

Ответ: а) $6.75; 6.75; -7$; б) при $y=6$: $x=1\pm\sqrt3$, при $y=0$: $x=-2,4$, при $y=-2$: $x=1\pm\sqrt{11}$; в) нули $-2,4$, функция положительна на $(-2;4)$, отрицательна на $(-infty;-2)\cup(4;+infty)$; г) возрастает на $(-infty;1]$, убывает на $[1;+infty)$, множество значений $(-infty;9]$.