151. Постройте график функции $y=-x^2+2x+8$ и найдите, используя график: а) значения функции при $x=2{,}5; -0{,}5; -3$; б) значения аргумента, при которых $y=6; 0; -2$; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции.

Question

Вопрос: $Фото задания: 151. Постройте график функции $y=-x^2+2x+8$ и найдите, используя график: а) значения функции при $x=2{,}5; -0{,}5; -3$;…$ Фото задания

151. Постройте график функции $y=-x^2+2x+8$ и найдите, используя график: а) значения функции при $x=2{,}5; -0{,}5; -3$; б) значения аргумента, при которых $y=6; 0; -2$; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции.

Accepted Answer

Преобразуем функцию к вершиной форме:

$y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9$. Это парабола с ветвями вниз, вершиной $(1;9)$ и осью симметрии $x=1$.

Для построения можно отметить точки $(-2;0), (0;8), (1;9), (2;8), (4;0)$ и провести через них параболу.

а) Значения функции:

$f(2.5)=-(2.5)^2+2\cdot2.5+8=6.75$.
$f(-0.5)=-(-0.5)^2+2(-0.5)+8=6.75$.
$f(-3)=-9-6+8=-7$.

б) Значения аргумента: решаем уравнения для каждого заданного значения $y$.

При $y=6$: $-x^2+2x+8=6$, откуда $x^2-2x-2=0$, поэтому $x=1\pm\sqrt3$ (примерно $-0.73$ и $2.73$).
При $y=0$: $-x^2+2x+8=0$, откуда $(x-4)(x+2)=0$; $x=-2$ или $x=4$.
При $y=-2$: $-x^2+2x+8=-2$, откуда $x^2-2x-10=0$, поэтому $x=1\pm\sqrt{11}$ (примерно $-2.32$ и $4.32$).

в) Нули функции: $x=-2$ и $x=4$. Поскольку парабола направлена вниз, функция положительна между нулями и отрицательна за их пределами.

$f(x)>0$ при $-2<x<4$; $f(x)<0$ при $x<-2$ или $x>4$.

г) Вершина имеет абсциссу $x=1$: до неё функция возрастает, после неё убывает. Наибольшее значение равно 9.

Ответ: множество значений функции $(-;9]$; возрастает на $(-;1]$, убывает на $[1;+)$.