151. Постройте график функции y = −x² + 2x + 8 и найдите, используя график: а) значения функции при x = 2,5; −0,5; −3; б) значения аргумента, при которых y = 6; 0; −2; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции.

Функцию преобразуем к виду вершины параболы:

\(y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9\).

Следовательно, вершина параболы — точка \((1;9)\), ось симметрии — прямая \(x=1\), ветви направлены вниз.

График функции:

а) Значения функции:

1. При \(x=2.5\): \(y=-(2.5)^2+2\cdot2.5+8=-6.25+5+8=6.75\).
2. При \(x=-0.5\): \(y=-(-0.5)^2+2\cdot(-0.5)+8=-0.25-1+8=6.75\).
3. При \(x=-3\): \(y=-(-3)^2+2\cdot(-3)+8=-9-6+8=-7\).

б) Значения аргумента:

1. При \(y=6\):
   \(-x^2+2x+8=6\),
   \(x^2-2x-2=0\),
   \(x=1\pm\sqrt{3}\).
2. При \(y=0\):
   \(-x^2+2x+8=0\),
   \(x^2-2x-8=0\),
   \(x=-2\) или \(x=4\).
3. При \(y=-2\):
   \(-x^2+2x+8=-2\),
   \(x^2-2x-10=0\),
   \(x=1\pm\sqrt{11}\).

в) Нули функции и промежутки знакопостоянства:

Нули функции находятся из уравнения \(y=0\): \(x=-2\) и \(x=4\).

Так как ветви параболы направлены вниз, функция положительна между нулями и отрицательна вне этого промежутка:

• \(y>0\) при \(x\in(-2;4)\);
• \(y<0\) при \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)\).

г) Возрастание, убывание и множество значений:

Абсцисса вершины равна \(x=1\). Поэтому функция возрастает на \((-\\infty;1]\) и убывает на \([1;+\\infty)\).

Наибольшее значение функции равно \(9\), поэтому множество значений: \((-;9]\).

Ответ: а) 6,75; 6,75; −7. б) При \(y=6\): \(x=1\pm\sqrt3\); при \(y=0\): \(x=-2,4\); при \(y=-2\): \(x=1\pm\sqrt{11}\). в) Нули: \(-2,4\); \(y>0\) на \((-2;4)\), \(y<0\) на \((-;-2)\cup(4;+)\). г) Возрастает на \((-;1]\), убывает на \([1;+)\), множество значений \((-;9]\).