151. Проведите прямую a и отметьте точки M и N вне её (рис. 41). Опустите из этих точек перпендикуляры MM₁ и NN₁ на прямую a. Измерьте расстояние между точками M и N и между основаниями перпендикуляров — точками M₁ и N₁. Сравните полученные результаты. Охарактеризуйте взаимное расположение прямых MM₁ и NN₁.

В каждом из рисунков расстояние между точками зависит от конкретного расположения M и N и прямой a, поэтому универсальное числовое значение без измерения исходного рисунка определить нельзя. Однако общее соотношение можно установить геометрически.

1. По условию MM₁ и NN₁ перпендикулярны одной и той же прямой a: MM₁ ⟂ a и NN₁ ⟂ a.

2. Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны. Следовательно, MM₁ ∥ NN₁.

3. Отрезки M₁N₁ и MM₁, NN₁ задают прямоугольную составляющую расстояния MN. Поэтому MN² = M₁N₁² + (MM₁ − NN₁)², где высоты берутся со знаками относительно прямой a.

Следовательно, MN ≥ M₁N₁. Равенство получается, если M и N находятся на одинаковом расстоянии от a по одну сторону от неё; если их расстояния до a различны, то MN > M₁N₁.

Ответ: MM₁ и NN₁ параллельны; расстояние MN не меньше расстояния M₁N₁. Точное сравнение измеренных величин для каждого рисунка требует построения перпендикуляров и измерения на оригинале.