152. Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон (сделайте чертёж).

Пусть дан равнобедренный треугольник \(ABC\), в котором \(AB=AC\). Точка \(M\) — середина основания \(BC\). Проведём из точки \(M\) перпендикуляры \(MK\perp AB\) и \(ML\perp AC\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(ACM\):

1. \(AB=AC\) по условию;
2. \(BM=CM\), так как \(M\) — середина основания;
3. \(AM\) — общая сторона.

Следовательно, \(\triangle ABM=\triangle ACM\) по трём сторонам. Поэтому соответствующие высоты, проведённые из точки \(M\) к сторонам \(AB\) и \(AC\), равны: \(MK=ML\).

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра к этой прямой. Значит, точка \(M\) равноудалена от боковых сторон \(AB\) и \(AC\).

Ответ: середина основания равнобедренного треугольника равноудалена от его боковых сторон.