152. Постройте график функции $y=2x^2+8x+2$ и найдите, используя график: а) значения $y$ при $x=-2,3; -0,5; 1,2$; б) значения $x$, при которых $y=-4; -1; 1; 7$; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, наибольшее значение функции.

Question

Вопрос: $Фото задания: 152. Постройте график функции $y=2x^2+8x+2$ и найдите, используя график: а) значения $y$ при $x=-2,3; -0,5; 1,2$; б)…$ Фото задания

152. Постройте график функции $y=2x^2+8x+2$ и найдите, используя график: а) значения $y$ при $x=-2,3; -0,5; 1,2$; б) значения $x$, при которых $y=-4; -1; 1; 7$; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, наибольшее значение функции.

Accepted Answer

Преобразуем формулу, выделив квадрат двучлена: $y=2(x+2)^2-6$. График — парабола с ветвями вверх и вершиной $(-2;-6)$.

а) Подставляем заданные значения $x$ в формулу:

При $x=-2,3$: $y=2(-2,3)^2+8(-2,3)+2=-5,82$.
При $x=-0,5$: $y=2(-0,5)^2+8(-0,5)+2=-1,5$.
При $x=1,2$: $y=2(1,2)^2+8(1,2)+2=14,48$.

б) Используем вид $y=2(x+2)^2-6$:

Если $y=-4$, то $(x+2)^2=1$, поэтому $x=-3$ или $x=-1$.
Если $y=-1$, то $(x+2)^2=\frac52$, поэтому $x=-2\pm\frac{\sqrt{10}}2$.
Если $y=1$, то $(x+2)^2=\frac72$, поэтому $x=-2\pm\frac{\sqrt{14}}2$.
Если $y=7$, то $(x+2)^2=\frac{13}2$, поэтому $x=-2\pm\frac{\sqrt{26}}2$.

в) Нули функции находятся из уравнения $2(x+2)^2-6=0$. Отсюда $(x+2)^2=3$, значит, $x=-2\pm\sqrt3$. Поскольку парабола направлена вверх, функция положительна вне корней и отрицательна между ними.

г) До вершины при $x=-2$ функция убывает, после вершины возрастает. Она не имеет наибольшего значения: при удалении от вершины вверх значения функции неограниченно растут. Минимальное значение равно $-6$ при $x=-2$.

Ответ: а) $-5,82; -1,5; 14,48$. б) При $y=-4$: $x=-3,-1$; при $y=-1$: $x=-2\pm\frac{\sqrt{10}}2$; при $y=1$: $x=-2\pm\frac{\sqrt{14}}2$; при $y=7$: $x=-2\pm\frac{\sqrt{26}}2$. в) Нули: $-2-\sqrt3$ и $-2+\sqrt3$; $y>0$ на $(−\infty,-2-\sqrt3)\cup(-2+\sqrt3,+\infty)$, $y<0$ на $(-2-\sqrt3,-2+\sqrt3)$. г) Убывает на $(−\infty,-2)$, возрастает на $(-2,+\infty)$; наибольшего значения нет.