152. Постройте график функции y = 2x² + 8x + 2 и найдите, используя график: а) значения y при x = −2,3; −0,5; 1,2; б) значения x, при которых y = −4; −1; 1,7; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Question

Вопрос:

Фото задания

152. Постройте график функции y = 2x² + 8x + 2 и найдите, используя график: а) значения y при x = −2,3; −0,5; 1,2; б) значения x, при которых y = −4; −1; 1,7; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Accepted Answer

Преобразуем функцию:

\(y=2x^2+8x+2=2(x+2)^2-6\).

График — парабола, ветви направлены вверх. Вершина: \((-2;-6)\), ось симметрии: \(x=-2\).

а) Значения функции:

При \(x=-2.3\): \(y=2\cdot(-2.3)^2+8\cdot(-2.3)+2=-5.82\).
При \(x=-0.5\): \(y=2\cdot(-0.5)^2+8\cdot(-0.5)+2=-1.5\).
При \(x=1.2\): \(y=2\cdot1.2^2+8\cdot1.2+2=14.48\).

б) Значения \(x\):

При \(y=-4\):
\(2x^2+8x+2=-4\),
\(x^2+4x+3=0\),
\(x_1=-1,\ x_2=-3\).
При \(y=-1\):
\(2x^2+8x+2=-1\),
\(2x^2+8x+3=0\),
\(x=\frac{-4\pm\sqrt{10}}2\).
При \(y=1.7\):
\(2x^2+8x+2=1.7\),
\(20x^2+80x+3=0\),
\(x=\frac{-20\pm\sqrt{385}}{10}\).

в) Нули функции:

\(2x^2+8x+2=0\), поэтому \(x^2+4x+1=0\), откуда \(x_1=-2-\sqrt3\), \(x_2=-2+\sqrt3\).

Так как ветви параболы направлены вверх, функция положительна на промежутках \((-;-2-\sqrt3)\cup(-2+\sqrt3;+\u001e)\), отрицательна на промежутке \((-2-\sqrt3;-2+\sqrt3)\).

г) Возрастание, убывание и наименьшее значение:

Функция убывает на \((-;-2)\) и возрастает на \((-2;+\u001e)\). Наименьшее значение достигается при \(x=-2\) и равно \(y_{\min}=-6\).

Ответ: а) \(-5.82;\ -1.5;\ 14.48\); б) при \(y=-4\): \(x=-3,-1\); при \(y=-1\): \(x=\frac{-4\pm\sqrt{10}}2\); при \(y=1.7\): \(x=\frac{-20\pm\sqrt{385}}{10}\); в) нули: \(-2\pm\sqrt3\); г) убывает на \((-;-2)\), возрастает на \((-2;+\u001e)\), минимум \(-6\).