152. Выполните действия: а) \(\frac{a^2-25}{a+3}\cdot\frac{1}{a^2+5a}-\frac{a+5}{a^2-3a}\); б) \(\frac{1-2x}{2x+1}+\frac{x^2+3x}{4x^2-1}:\frac{3+x}{4x+2}\); в) \(\frac{b-c}{a+b}-\frac{ab-b^2}{a^2-ac}\cdot\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}\); г) \(\frac{a^2-4}{x^2-9}:\frac{a^2-2a}{xy+3y}+\frac{2-y}{x-3}\).

а)

Разложим знаменатели и числитель на множители:

\(\frac{a^2-25}{a+3}\cdot\frac{1}{a^2+5a}-\frac{a+5}{a^2-3a}=\frac{(a-5)(a+5)}{a+3}\cdot\frac{1}{a(a+5)}-\frac{a+5}{a(a-3)}\).

Сократим первую дробь и приведём выражение к общему знаменателю:

\(\frac{a-5}{a(a+3)}-\frac{a+5}{a(a-3)}=\frac{(a-5)(a-3)-(a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)}=\frac{-16a}{a(a+3)(a-3)}\).

Ответ: \(-\frac{16}{(a+3)(a-3)}\), где \(a\ne -5,-3,0,3\).

б)

Сначала выполним деление дробей, разложив многочлены на множители:

\(\frac{x^2+3x}{4x^2-1}:\frac{x+3}{4x+2}=\frac{x(x+3)}{(2x-1)(2x+1)}\cdot\frac{2(2x+1)}{x+3}=\frac{2x}{2x-1}\).

Теперь сложим дроби:

\(\frac{1-2x}{2x+1}+\frac{2x}{2x-1}=\frac{-(2x-1)^2+2x(2x+1)}{(2x+1)(2x-1)}=\frac{6x-1}{(2x+1)(2x-1)}\).

Ответ: \(\frac{6x-1}{(2x+1)(2x-1)}\), где \(x\ne -3,-\frac12,\frac12\).

в)

Разложим выражения на множители и сократим произведение:

\(\frac{ab-b^2}{a^2-ac}\cdot\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}=\frac{b(a-b)}{a(a-c)}\cdot\frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)}=\frac{b(a+c)}{a(a+b)}\).

Вычтем эту дробь из первой:

\(\frac{b-c}{a+b}-\frac{b(a+c)}{a(a+b)}=\frac{a(b-c)-b(a+c)}{a(a+b)}=-\frac{c}{a}\).

Ответ: \(-\frac{c}{a}\), где \(a\ne0\), \(a\ne c\), \(a\ne\pm b\).

г)

Сначала выполним деление, разложив на множители:

\(\frac{a^2-4}{x^2-9}:\frac{a^2-2a}{xy+3y}=\frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{y(x+3)}{a(a-2)}=\frac{y(a+2)}{a(x-3)}\).

Сложим полученную дробь с последним слагаемым:

\(\frac{y(a+2)}{a(x-3)}+\frac{2-y}{x-3}=\frac{y(a+2)+a(2-y)}{a(x-3)}=\frac{2(a+y)}{a(x-3)}\).

Ответ: \(\frac{2(a+y)}{a(x-3)}\), где \(a\ne0,2\), \(x\ne-3,3\), \(y\ne0\).