153. Постройте график функции и опишите её свойства: а) $y=\frac{1}{3}x^2-4x+4$; б) $y=-\frac{1}{4}x^2+x-1$; в) $y=x^2+3x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 153. Постройте график функции и опишите её свойства: а) $y=\frac{1}{3}x^2-4x+4$; б) $y=-\frac{1}{4}x^2+x-1$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) $y=\frac{1}{3}x^2-4x+4$.

Выделим квадрат: $y=\frac{1}{3}(x-6)^2-8$. Значит, вершина параболы — $(6;-8)$, ось симметрии — $x=6$, ветви направлены вверх.
Нули функции: $\frac{1}{3}x^2-4x+4=0$, откуда $x=6\pm2\sqrt{6}$. Пересечение с осью $Oy$: $(0;4)$.
Область определения: все действительные числа; убывает при $x<6$, возрастает при $x>6$; наименьшее значение равно $-8$, область значений — $[-8;+\infty)$.

б) $y=-\frac{1}{4}x^2+x-1$.

Выделим квадрат: $y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$. Вершина — $(2;0)$, ось симметрии — $x=2$, ветви направлены вниз.
Единственный нуль функции — $x=2$ (корень кратный). Пересечение с осью $Oy$: $(0;-1)$.
Область определения — все действительные числа; возрастает при $x<2$, убывает при $x>2$; наибольшее значение равно $0$, область значений — $(-\infty;0]$.

в) $y=x^2+3x$.

Выделим квадрат: $y=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}$. Вершина — $(-\frac{3}{2};-\frac{9}{4})$, ось симметрии — $x=-\frac{3}{2}$, ветви направлены вверх.
Разложим на множители: $y=x(x+3)$. Нули функции: $x=-3$ и $x=0$; график пересекает ось $Oy$ в точке $(0;0)$.
Область определения — все действительные числа; убывает при $x< -\frac{3}{2}$, возрастает при $x> -\frac{3}{2}$; наименьшее значение равно $-\frac{9}{4}$, область значений — $[-\frac{9}{4};+\infty)$.

153. Постройте график функции и опишите её свойства: а) \(y=\frac{1}{3}x^2-4x+4\); б) \(y=-\frac{1}{4}x^2+x-1\); в) \(y=x^2+3x\).