153. Постройте график функции и опишите её свойства: а) $y=\frac13x^2-4x+4$; б) $y=-\frac14x^2+x-1$; в) $y=x^2+3x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 153. Постройте график функции и опишите её свойства: а) $y=\frac13x^2-4x+4$; б) $y=-\frac14x^2+x-1$; в) $y=x^2+3x$.$ Фото задания

153. Постройте график функции и опишите её свойства: а) $y=\frac13x^2-4x+4$; б) $y=-\frac14x^2+x-1$; в) $y=x^2+3x$.

Accepted Answer

Все три функции — квадратичные, поэтому их графики являются параболами. Для построения удобно привести каждую функцию к виду с квадратом разности: так видны вершина и направление ветвей.

а) $y=\frac13x^2-4x+4$

Выделим полный квадрат: $y=\frac13(x-6)^2-8$. Вершина параболы — $(6;-8)$, ось симметрии — $x=6$; ветви направлены вверх.

Область определения: $\mathbb R$.
Область значений: $[-8;+\infty)$; наименьшее значение равно $-8$ при $x=6$.
Убывает на $( -\infty;6]$, возрастает на $[6;+\infty)$.
Нули: $x=6-2\sqrt6$ и $x=6+2\sqrt6$.
Функция положительна при $x<6-2\sqrt6$ и $x>6+2\sqrt6$, отрицательна между нулями.

б) $y=-\frac14x^2+x-1$

Выделим полный квадрат: $y=-\frac14(x-2)^2$. Вершина — $(2;0)$, ось симметрии — $x=2$; ветви направлены вниз.

Область определения: $\mathbb R$.
Область значений: $( -\infty;0]$; наибольшее значение равно $0$ при $x=2$.
Возрастает на $( -\infty;2]$, убывает на $[2;+\infty)$.
Нуль функции: $x=2$, корень кратности 2.
Функция отрицательна при $x\ne2$, равна нулю при $x=2$.

в) $y=x^2+3x$

Выделим полный квадрат: $y=(x+\frac32)^2-\frac94$. Вершина — $(-\frac32;-\frac94)$, ось симметрии — $x=-\frac32$; ветви направлены вверх.

Область определения: $\mathbb R$.
Область значений: $[-\frac94;+\infty)$; наименьшее значение равно $-\frac94$ при $x=-\frac32$.
Убывает на $( -\infty;-\frac32]$, возрастает на $[-\frac32;+\infty)$.
Нули: $x=-3$ и $x=0$.
Функция положительна при $x<-3$ и $x>0$, отрицательна при $-3<x<0$.

153. Постройте график функции и опишите её свойства: а) \(y=\frac13x^2-4x+4\); б) \(y=-\frac14x^2+x-1\); в) \(y=x^2+3x\).

Ответ: