153. Постройте график функции и опишите её свойства: а) y = ⅓x² − 4x + 4; б) y = −¼x² + x − 1; в) y = x² + 3x.

Для квадратичной функции абсцисса вершины находится по формуле \(x_0=-\frac{b}{2a}\). По знаку коэффициента \(a\) определяем направление ветвей параболы.

а) \(y=\frac{1}{3}x^2-4x+4=\frac{1}{3}(x-6)^2-8\). Вершина: \((6;-8)\), ось симметрии: \(x=6\), ветви направлены вверх. Пересечение с осью \(Oy\): \((0;4)\). Нули: \(x=6\pm2\sqrt6\). Функция убывает на \((-;6]\), возрастает на \([6;+)\); наименьшее значение равно \(-8\), область значений \([-8;+)\).

б) \(y=-\frac{1}{4}x^2+x-1=-\frac{1}{4}(x-2)^2\). Вершина: \((2;0)\), ось симметрии: \(x=2\), ветви направлены вниз. Пересечение с осью \(Oy\): \((0;-1)\); единственный нуль \(x=2\) (двукратный). Функция возрастает на \((-;2]\), убывает на \([2;+)\); наибольшее значение равно \(0\), область значений \((-;0]\).

в) \(y=x^2+3x=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}\). Вершина: \((-\frac{3}{2};-\frac{9}{4})\), ось симметрии: \(x=-\frac{3}{2}\), ветви направлены вверх. Нули: \(x=-3\) и \(x=0\); пересечение с осью \(Oy\): \((0;0)\). Функция убывает на \((-;-\frac{3}{2}]\), возрастает на \([-\frac{3}{2};+)\); наименьшее значение равно \(-\frac{9}{4}\), область значений \([-\frac{9}{4};+)\).

На одном графике показаны все три параболы. Отмеченные точки соответствуют вершинам и пересечениям с осями.