153. Постройте на координатной плоскости треугольник, вершинами которого являются точки А(3; −1), B(0;4), С(-4; 4). Найдите координаты вершин треугольника, симметричного треугольнику АВС относительно: а) оси х; б) оси у; в) начала координат; г) точки А; д) прямой ВС.

Решение:

Даны вершины треугольника А(3; −1), B(0;4), С(-4; 4). Найдём координаты вершин треугольника, симметричного треугольнику АВС, относительно заданных объектов.

а) Относительно оси x:

При симметрии относительно оси x, координаты точки (x; y) переходят в (x; -y).

• A(3; -1) → A'(3; 1)
• B(0; 4) → B'(0; -4)
• C(-4; 4) → C'(-4; -4)

б) Относительно оси y:

При симметрии относительно оси y, координаты точки (x; y) переходят в (-x; y).

• A(3; -1) → A''(-3; -1)
• B(0; 4) → B''(0; 4)
• C(-4; 4) → C''(4; 4)

в) Относительно начала координат:

При симметрии относительно начала координат, координаты точки (x; y) переходят в (-x; -y).

• A(3; -1) → A'''(-3; 1)
• B(0; 4) → B'''(0; -4)
• C(-4; 4) → C'''(4; -4)

г) Относительно точки А(3; -1):

Пусть точка A — центр симметрии. Координаты симметричной точки B'' (x''; y'') относительно точки A(x_A; y_A) находятся по формулам: x'' = 2x_A - x_B; y'' = 2y_A - y_B.

• Для точки A: A''' = A, так как это центр симметрии.
• Для точки B(0; 4):
• x''' = 2 * 3 - 0 = 6
• y''' = 2 * (-1) - 4 = -2 - 4 = -6
• B'''(6; -6)
• Для точки C(-4; 4):
• x''' = 2 * 3 - (-4) = 6 + 4 = 10
• y''' = 2 * (-1) - 4 = -2 - 4 = -6
• C'''(10; -6)

д) Относительно прямой ВС:

Прямая BC проходит через точки B(0; 4) и C(-4; 4). Так как y-координаты точек B и C одинаковы (равны 4), прямая BC является горизонтальной линией y = 4.

При симметрии относительно горизонтальной прямой y = k, координаты точки (x; y) переходят в (x; 2k - y).

• Для точки A(3; -1):
• x' = 3
• y' = 2 * 4 - (-1) = 8 + 1 = 9
• A'(3; 9)
• Для точки B(0; 4):
• x' = 0
• y' = 2 * 4 - 4 = 8 - 4 = 4
• B'(0; 4) (точка лежит на прямой, остается на месте)
• Для точки C(-4; 4):
• x' = -4
• y' = 2 * 4 - 4 = 8 - 4 = 4
• C'(-4; 4) (точка лежит на прямой, остается на месте)

Ответ:

а) A'(3; 1), B'(0; -4), C'(-4; -4)

б) A''(-3; -1), B''(0; 4), C''(4; 4)

в) A'''(-3; 1), B'''(0; -4), C'''(4; -4)

г) A(3; -1), B'''(6; -6), C'''(10; -6)

д) A'(3; 9), B(0; 4), C(-4; 4)