154. 1) x + 1 = √(1 − x); 2) x = 1 + √(x + 1); 3) √(x + 3) = √(5 − x); 4) √(x² − x − 3) = 3.

1) Учитываем область допустимых значений: \(1-x\ge 0\), то есть \(x\le 1\). Также левая часть неотрицательна, поэтому \(x+1\ge 0\), то есть \(x\ge -1\).

1. Возводим обе части в квадрат: \((x+1)^2=1-x\).
2. Раскрываем скобки и упрощаем: \(x^2+2x+1=1-x\), откуда \(x^2+3x=0\).
3. Разлагаем на множители: \(x(x+3)=0\), поэтому кандидаты \(x=0\) и \(x=-3\).
4. ОДЗ оставляет только \(x=0\). Проверка: \(0+1=\sqrt{1-0}=1\).

Ответ: \(x=0\).

2) Правая часть не меньше 1, значит из равенства следует \(x\ge 1\). Тогда \(x+1=\sqrt{x+1}\). Обозначим \(t=\sqrt{x+1}\); из \(x\ge1\) следует \(t\ge\sqrt2\). Получаем \(t^2=t\), откуда \(t=0\) или \(t=1\), но ни одно значение не удовлетворяет \(t\ge\sqrt2\).

Ответ: решений нет.

3) ОДЗ: \(x+3\ge0\) и \(5-x\ge0\), то есть \(-3\le x\le5\). Возводим обе части в квадрат: \(x+3=5-x\). Тогда \(2x=2\), откуда \(x=1\). Проверка: обе части равны 2.

Ответ: \(x=1\).

4) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Возводим обе части в квадрат: \(x^2-x-3=9\), поэтому \(x^2-x-12=0\). Разложение на множители: \((x-4)(x+3)=0\), откуда \(x=4\) или \(x=-3\). При обоих значениях подкоренное выражение равно 9, и исходное равенство выполняется.

Ответ: \(x=-3\) или \(x=4\).