154. а) Даны ΔABC, в котором ∠C = 90°, AC = 3 см, BC = 1,5 см, и точка O, принадлежащая прямой AB, причём OA = 2 см и точка A лежит на отрезке OB. Постройте образ ΔABC при повороте около точки O по часовой стрелке на угол 60°. б) Две равные окружности с центрами в точках A и B пересекаются в точках C и D. На какой угол надо повернуть одну из них около точки C, чтобы она совпала с другой окружностью?

а) Сначала построим прямоугольный треугольник ABC: отложим на луче OB от точки O отрезок OA = 2 см, затем построим катеты AC = 3 см и BC = 1,5 см так, чтобы угол C был прямым.

Каждую вершину повернём вокруг точки O по часовой стрелке на 60°:

1. Построим луч OA₁ так, чтобы ∠AOA₁ = 60°, и отложим OA₁ = OA. Получим точку A₁.
2. Построим луч OB₁ так, чтобы ∠BOB₁ = 60°, и отложим OB₁ = OB. Получим точку B₁.
3. Построим луч OC₁ так, чтобы ∠COC₁ = 60°, и отложим OC₁ = OC. Получим точку C₁.
4. Соединим точки A₁, B₁ и C₁. Треугольник A₁B₁C₁ — искомый образ треугольника ABC.

б) При повороте вокруг точки C центр первой окружности A должен перейти в центр второй окружности B. Поэтому угол поворота равен углу между радиусами CA и CB:

\(\angle ACB\).

Повернуть можно в одну из двух сторон: на меньший угол \(\angle ACB\) или в противоположную сторону на угол \(360^\circ-\angle ACB\).

Ответ: а) образ — ΔA₁B₁C₁; б) на угол ∠ACB (в противоположном направлении — на 360° − ∠ACB).