154. Кажем, что эта прямая — искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а. В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём сторонам, поэтому ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что отрезок МС (С — точка пересечения прямых а и MN) является биссектри- сой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, MN ⊥ АВ, т. е. MN ⊥ а. Дан треугольник АВС. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.

Анализ задачи 154:

Текст задачи описывает геометрическую ситуацию и ставит задачу построить основные элементы треугольника (биссектрису, медиану, высоту).

Построение:

1. Биссектриса АК:
• Из вершины А провести окружность произвольного радиуса с центром в точке А.
• Отметить точки пересечения окружности со сторонами AB и AC (обозначим их D и E соответственно).
• Из точек D и E провести окружности с одинаковыми радиусами, чтобы они пересеклись.
• Провести прямую через вершину А и точку пересечения окружностей. Эта прямая и будет биссектрисой АК.
2. Медиана ВМ:
• Найти середину стороны АС. Для этого можно построить серединный перпендикуляр к отрезку АС.
• Соединить вершину В с найденной серединой стороны АС. Полученный отрезок и будет медианой ВМ.
3. Высота СН:
• Из вершины С опустить перпендикуляр на сторону АВ (или ее продолжение).
• Для построения перпендикуляра из точки на прямую: из точки С провести окружность, пересекающую прямую АВ в двух точках (например, P и Q).
• Из точек P и Q провести окружности с одинаковыми радиусами, чтобы они пересеклись.
• Прямая, проходящая через точку С и точку пересечения окружностей, будет содержать высоту. Точка пересечения этой прямой со стороной АВ (или ее продолжением) будет точкой Н.