Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 154. Решите уравнения: 1) x + 1 = √(1 − x); 2) x = 1 + √(x + 11); 3) √(x + 3) = √(5 − x); 4) √(x² − x − 3) = 3.Фото задания

Ответ:

  1. Область допустимых значений: −1 ≤ x ≤ 1, поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а левая часть — неотрицательной.

    Возведём обе части в квадрат:

    \( (x+1)^2=1-x \)

    \( x^2+3x=0 \)

    \( x(x+3)=0 \), поэтому \(x=0\) или \(x=-3\). Условию области допустимых значений удовлетворяет только \(x=0\).

    Ответ: 0.

  2. Так как правая часть не меньше 1, необходимо \(x\ge 1\). Возведём уравнение в квадрат:

    \( (x-1)^2=x+11 \)

    \( x^2-3x-10=0 \)

    \( (x-5)(x+2)=0 \), откуда \(x=5\) или \(x=-2\). Условию \(x\ge1\) удовлетворяет только \(x=5\). Проверка: \(5=1+\sqrt{16}=5\).

    Ответ: 5.

  3. Область допустимых значений: \(-3\le x\le5\). Поскольку квадратные корни равны, равны и подкоренные выражения:

    \(x+3=5-x\), откуда \(2x=2\) и \(x=1\). Это значение входит в область допустимых значений.

    Ответ: 1.

  4. Возведём обе части в квадрат:

    \(x^2-x-3=9\)

    \(x^2-x-12=0\)

    \((x-4)(x+3)=0\), поэтому \(x=4\) или \(x=-3\). Для обоих значений подкоренное выражение равно 9, так что оба корня подходят.

    Ответ: −3; 4.