154. В окружности с центром О проведены диаметр DF и хорда FE. Найдите ∠FDE, если ∠FEO = 30°.

Решение:

Дан диаметр \( DF \) и хорда \( FE \) в окружности с центром \( O \).

\( \triangle OFE \) — равнобедренный, так как \( OF = OE \) (радиусы). Следовательно, \( \angle OFE = \angle FEO \).

По условию \( \angle FEO = 30^{\circ} \). Значит, \( \angle OFE = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle FOE \) — центральный, он равен сумме углов \( \angle FEO + \angle OFE \) в \( \triangle OFE \): \( \angle FOE = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Угол \( \angle FDE \) — вписанный, опирается на дугу \( FE \).

Центральный угол \( \angle FOE \), опирающийся на ту же дугу \( FE \), равен \( 120^{\circ} \).

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу: \( \angle FDE = \frac{1}{2} \angle FOE \).

\( \angle FDE = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: \( \angle FDE = 60^{\circ} \).