154. Выполните действия: а) \(\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)\); б) \(\left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right):\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\right)\).

а) Приведём слагаемые в первой скобке к общему знаменателю:

\(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}=\frac{x-y+2y}{y(x-y)}=\frac{x+y}{y(x-y)}\).

Упростим вторую скобку:

\(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}=\frac{x(x+y)-(x^2+y^2)}{x+y}=\frac{xy-y^2}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x+y}\).

Перемножим и сократим общие множители:

\(\frac{x+y}{y(x-y)}\cdot\frac{y(x-y)}{x+y}=1\).

Исходное выражение определено при \(y\ne0\), \(x-y\ne0\) и \(x+y\ne0\).

б) Упростим первую скобку:

\(a+b-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a+b}\).

Приведём выражение во второй скобке к общему знаменателю:

\(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}=\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}\).

Разделим первую скобку на вторую, умножив на обратную дробь:

\(\frac{a^2+b^2}{a+b}:\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot\frac{a(a+b)}{a^2+b^2}=a\).

В исходном выражении необходимо \(a\ne0\), \(a+b\ne0\), а делитель должен быть ненулевым. Для действительных чисел это также требует \(a^2+b^2\ne0\); условие \(a\ne0\) уже это обеспечивает.

Ответ: а) 1; б) \(a\).