155. Решите уравнения: 1) √x − x = −12; 2) x + √x = 2(x − 1); 3) √(x − 1) = x − 3; 4) √(6 + x − x²) = 1 − x.

1. Область определения: \(x\ge 0\). Положим \(t=\sqrt{x}\), тогда \(t\ge0\), \(x=t^2\):

   \(t-t^2=-12\), то есть \(t^2-t-12=0\).

   \((t-4)(t+3)=0\), поэтому с учётом \(t\ge0\) получаем \(t=4\), откуда \(x=16\).

2. Область определения: \(x\ge0\). Положим \(t=\sqrt{x}\ge0\), тогда \(x=t^2\):

   \(t^2+t=2t^2-2\), откуда \(t^2-t-2=0\).

   \((t-2)(t+1)=0\). Условию \(t\ge0\) соответствует \(t=2\), значит, \(x=4\).

3. Требуется \(x-1\ge0\) и, поскольку левая часть неотрицательна, \(x-3\ge0\), то есть \(x\ge3\).

   Возведём обе части в квадрат: \(x-1=(x-3)^2\). Тогда \(x^2-7x+10=0\), откуда \((x-2)(x-5)=0\).

   Из найденных корней условию \(x\ge3\) удовлетворяет только \(x=5\). Проверка: \(\sqrt{5-1}=2=5-3\).

4. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а правая часть тоже должна быть неотрицательной: \(1-x\ge0\), значит, \(x\le1\).

   Возведём обе части в квадрат: \(6+x-x^2=(1-x)^2\). Получаем \(2x^2-x-5=0\).

   \(x=\dfrac{1\pm\sqrt{41}}{4}\). Условию \(x\le1\) удовлетворяет только \(x=\dfrac{1-\sqrt{41}}{4}\). При этом равенстве квадратов обе части исходного уравнения неотрицательны, поэтому корень подходит.

Ответ: 1) \(16\); 2) \(4\); 3) \(5\); 4) \(\dfrac{1-\sqrt{41}}{4}\).