155. Упростите выражение: а) \((a^2+2a+1):\left(\frac1{a+1}+\frac1{a^2-1}-\frac1{a-1}\right)\); б) \(\left(1-\frac{9x^2+4}{12x}\right):\left(\frac1{3x}-\frac12\right)+1\); в) \(1-\left(\frac2{a-2}-\frac2{a+2}\right)\cdot\left(a-\frac{3a+2}{4}\right)\); г) \((y^2-4)\left(\frac3{y+2}-\frac2{y-2}\right)+5\).

а) Область допустимых значений: \(a\ne-1,1\).

\(a^2+2a+1=(a+1)^2\), а

\(\frac1{a+1}+\frac1{a^2-1}-\frac1{a-1}=\frac{a-1+1-(a+1)}{(a-1)(a+1)}=-\frac1{a+1}.\)

Тогда \((a+1)^2:\left(-\frac1{a+1}\right)=-(a+1)^3.\)

Ответ: \(-(a+1)^3\), где \(a\ne-1,1\).

б) Область допустимых значений: \(x\ne0,\frac23\).

\(1-\frac{9x^2+4}{12x}=\frac{12x-9x^2-4}{12x}=-\frac{(3x-2)^2}{12x}.\)

\(\frac1{3x}-\frac12=\frac{2-3x}{6x}=-\frac{3x-2}{6x}.\)

Делим первую скобку на вторую и прибавляем 1:

\(\left(-\frac{(3x-2)^2}{12x}\right):\left(-\frac{3x-2}{6x}\right)+1=\frac{3x-2}{2}+1=\frac{3x}{2}.\)

Ответ: \(\frac{3x}{2}\), где \(x\ne0,\frac23\).

в) Область допустимых значений: \(a\ne-2,2\).

\(\frac2{a-2}-\frac2{a+2}=\frac{2(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}=\frac8{a^2-4}.\)

\(a-\frac{3a+2}{4}=\frac{4a-3a-2}{4}=\frac{a-2}{4}.\)

Подставляем и сокращаем:

\(1-\frac8{(a-2)(a+2)}\cdot\frac{a-2}{4}=1-\frac2{a+2}=\frac{a}{a+2}.\)

Ответ: \(\frac{a}{a+2}\), где \(a\ne-2,2\).

г) Область допустимых значений: \(y\ne-2,2\).

\(y^2-4=(y-2)(y+2)\), поэтому

\((y^2-4)\left(\frac3{y+2}-\frac2{y-2}\right)=(y-2)(y+2)\cdot\frac{3(y-2)-2(y+2)}{(y+2)(y-2)}=y-10.\)

Прибавляем 5: \(y-10+5=y-5.\)

Ответ: \(y-5\), где \(y\ne-2,2\).