155. Упростите выражение: а) $\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)$; б) $\left(\frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 155. Упростите выражение: а) $\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

Разложим знаменатели на множители: $y^2-x^2=(y-x)(y+x)$, $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$.

Сначала упростим выражение в скобках:

\[\frac{1}{(y-x)(x+y)}+\frac{1}{(x+y)^2}=\frac{x+y+y-x}{(y-x)(x+y)^2}=\frac{2y}{(y-x)(x+y)^2}.\]

Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

\[\frac{4xy}{(y-x)(x+y)}:\frac{2y}{(y-x)(x+y)^2}=\frac{4xy}{(y-x)(x+y)}\cdot\frac{(y-x)(x+y)^2}{2y}=2x(x+y).\]

ОДЗ: $y\ne x$, $y\ne -x$, $y\ne0$.

б)

Разложим знаменатели на множители и учтём, что $(2y-x)^2=(x-2y)^2$. Сначала выполним деление:

\[\frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}=\frac{1}{(x-2y)(x+2y)}\cdot\frac{(x-2y)^2}{x+2y}=\frac{x-2y}{(x+2y)^2}.\]

Теперь вычтем дроби:

\[\frac{x-2y}{x(x+2y)}-\frac{x-2y}{(x+2y)^2}=\frac{(x-2y)(x+2y)-x(x-2y)}{x(x+2y)^2}=\frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}.\]

Умножим на оставшуюся дробь и сократим:

\[\frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}\cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\frac{x-2y}{2xy}.\]

ОДЗ: $x\ne0$, $y\ne0$, $x\ne2y$, $x\ne-2y$.

Ответ: а) $2x(x+y)$; б) $\frac{x-2y}{2xy}$.

155. Упростите выражение: а) \(\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)\); б) \(\left(\frac{x-2y}{x^2+2xy}-\frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2}\).