156. Решите уравнения: а) (x − 5)⁴ + (x − 5)² − 12 = 0; б) (x + 2)⁴ − 9(x + 2)² − 10 = 0; в) (x − 6)⁴ − 4(x − 6)² − 5 = 0; г) (x − 8)⁴ − 2(x − 8)² − 15 = 0.

В каждом уравнении обозначим квадрат выражения в скобках через \(y\). Тогда \(y\geq0\), а четвёртая степень этого выражения равна \(y^2\).

1. а) Пусть \(y=(x-5)^2\). Получаем \(y^2+y-12=0\), то есть \((y+4)(y-3)=0\). Из корней \(y=-4\) и \(y=3\) подходит только \(y=3\). Поэтому \((x-5)^2=3\), откуда \(x=5\pm\sqrt3\).
2. б) Пусть \(y=(x+2)^2\). Тогда \(y^2-9y-10=0\), то есть \((y-10)(y+1)=0\). Подходит \(y=10\). Значит, \((x+2)^2=10\), откуда \(x=-2\pm\sqrt{10}\).
3. в) Пусть \(y=(x-6)^2\). Тогда \(y^2-4y-5=0\), то есть \((y-5)(y+1)=0\). Подходит \(y=5\). Значит, \((x-6)^2=5\), откуда \(x=6\pm\sqrt5\).
4. г) Пусть \(y=(x-8)^2\). Тогда \(y^2-2y-15=0\), то есть \((y-5)(y+3)=0\). Подходит \(y=5\). Значит, \((x-8)^2=5\), откуда \(x=8\pm\sqrt5\).

Ответ: а) \(5\pm\sqrt3\); б) \(-2\pm\sqrt{10}\); в) \(6\pm\sqrt5\); г) \(8\pm\sqrt5\).