157. Методом интервалов решить неравенства: 1) $\dfrac{x^2-6x+8}{x^2+2x-3}\le 0$; 2) $\dfrac{x^2+x-6}{x^2+x+1}\ge 0$; 3) $\dfrac{(x+2)^2}{(x-1)(x+5)}\ge 0$; 4) $\dfrac{(x+3)^2(x+1)}{x-4}\le 0$; 5) $\dfrac{(x-4)^2(x+2)}{(x-5)^3}\le 0$; 6) $\dfrac{(x+7)^3(x-2)}{x+3}\ge 0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 157. Методом интервалов решить неравенства: 1) $\dfrac{x^2-6x+8}{x^2+2x-3}\le 0$; 2) $\dfrac{x^2+x-6}{x^2+x+1}\ge 0$;…$ Фото задания

157. Методом интервалов решить неравенства: 1) $\dfrac{x^2-6x+8}{x^2+2x-3}\le 0$; 2) $\dfrac{x^2+x-6}{x^2+x+1}\ge 0$; 3) $\dfrac{(x+2)^2}{(x-1)(x+5)}\ge 0$; 4) $\dfrac{(x+3)^2(x+1)}{x-4}\le 0$; 5) $\dfrac{(x-4)^2(x+2)}{(x-5)^3}\le 0$; 6) $\dfrac{(x+7)^3(x-2)}{x+3}\ge 0$.

Accepted Answer

1) Разложим на множители: $\dfrac{(x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)}\le 0$. Критические точки: $-3,1,2,4$; точки $-3$ и $1$ исключаются из области определения. Знак дроби меняется при прохождении каждой точки. Подходящие промежутки и нули числителя дают $(-3,1)\cup[2,4]$.

2) Числитель раскладывается: $(x+3)(x-2)$. Знаменатель $x^2+x+1$ всегда положителен, поскольку его дискриминант равен $-3$. Поэтому решаем $(x+3)(x-2)\ge0$: $(-\infty,-3]\cup[2,+\infty)$.

3) Числитель $(x+2)^2\ge0$, равен нулю при $x=-2$. Знаменатель положителен при $x<-5$ и $x>1$, отрицателен при \(-5

4) Критические точки: $-3$ (нуль чётной кратности), $-1$ и $4$ (последняя исключена). Знак дроби отрицателен на $(-1,4)$; при $x=-3$ дробь равна нулю. Ответ: $[-3,-3]\cup[-1,4)$, то есть $\{-3\}\cup[-1,4)$.

5) Критические точки: $-2$ (нуль первой степени), $4$ (нуль чётной кратности), $5$ (полюс третьей степени). Проверка знаков на промежутках показывает, что дробь неположительна на $(-\infty,-2]$ и $(5,+\infty)$. Точка $5$ не входит в область определения; при $x=4$ значение равно нулю, поэтому добавляем её. Ответ: $(-\infty,-2]\cup\{4\}\cup(5,+\infty)$.

6) Критические точки: $-7$, $-3$ (исключена из области определения) и $2$. Знак произведения дроби чередуется на промежутках; условию $\ge0$ соответствуют $(-\infty,-7]$, $(-3,2]$ и $(2,+\infty)$ с учётом знака на соседних интервалах. Проверка знаков даёт итог: $(-\infty,-7]\cup(-3,2]\cup(2,+\infty)$ с объединением последних промежутков, то есть $(-\infty,-7]\cup(-3,+\infty)$.