157. Упростите выражение: а) $\dfrac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\dfrac{1}{y^2-x^2}+\dfrac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)$; б) $\left(\dfrac{x-2y}{x^2+2xy}-\dfrac{1}{x^2-4y^2}:\dfrac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\dfrac{x+2y}{4y^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 157. Упростите выражение: а) $\dfrac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\dfrac{1}{y^2-x^2}+\dfrac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

Разложим знаменатели на множители:

$y^2-x^2=(y-x)(x+y)$, $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$.

Вычислим сумму в скобках:

$\dfrac{1}{(y-x)(x+y)}+\dfrac{1}{(x+y)^2}=\dfrac{x+y+y-x}{(y-x)(x+y)^2}=\dfrac{2y}{(y-x)(x+y)^2}$.

Разделим первую дробь на полученную:

$\dfrac{4xy}{(y-x)(x+y)}:\dfrac{2y}{(y-x)(x+y)^2}=2x(x+y)$.

б)

Сначала выполним деление в скобках. Так как $(2y-x)^2=(x-2y)^2$, получаем:

$\dfrac{1}{x^2-4y^2}:\dfrac{x+2y}{(2y-x)^2}=\dfrac{1}{(x-2y)(x+2y)}\cdot\dfrac{(x-2y)^2}{x+2y}=\dfrac{x-2y}{(x+2y)^2}$.

Теперь упростим разность:

$\dfrac{x-2y}{x(x+2y)}-\dfrac{x-2y}{(x+2y)^2}=\dfrac{(x-2y)((x+2y)-x)}{x(x+2y)^2}=\dfrac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}$.

Умножим на последнюю дробь:

$\dfrac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}\cdot\dfrac{x+2y}{4y^2}=\dfrac{x-2y}{2xy(x+2y)}$.

Ответ: а) $2x(x+y)$; б) $\dfrac{x-2y}{2xy(x+2y)}$.

157. Упростите выражение: а) \(\dfrac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\dfrac{1}{y^2-x^2}+\dfrac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)\); б) \(\left(\dfrac{x-2y}{x^2+2xy}-\dfrac{1}{x^2-4y^2}:\dfrac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\dfrac{x+2y}{4y^2}\).