158. Предъявите в виде дроби: а) $\frac{x+2}{x^2-2x+1}\cdot\frac{3x-3}{x^2-4}-\frac{3}{x-2}$; б) $\frac{a-2}{4a^2+16a+16}:\left(\frac{a}{2a-4}-\frac{a^2+4}{2a^2-8}-\frac{2}{a^2+2a}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 158. Предъявите в виде дроби: а) $\frac{x+2}{x^2-2x+1}\cdot\frac{3x-3}{x^2-4}-\frac{3}{x-2}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

Разложим многочлены на множители:

$x^2-2x+1=(x-1)^2$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $3x-3=3(x-1)$.

Тогда

\[\frac{x+2}{(x-1)^2}\cdot\frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)}-\frac{3}{x-2}=\frac{3}{(x-1)(x-2)}-\frac{3}{x-2}.\]

Приведём к общему знаменателю:

\[\frac{3}{(x-1)(x-2)}-\frac{3(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{3-3(x-1)}{(x-1)(x-2)}=-\frac{3}{x-1}.\]

ОДЗ: $x\ne -2,\ 1,\ 2$.

б)

Разложим знаменатели:

$4a^2+16a+16=4(a+2)^2$, $2a-4=2(a-2)$, $2a^2-8=2(a-2)(a+2)$, $a^2+2a=a(a+2)$.

Сначала упростим выражение в скобках:

\[\frac{a}{2(a-2)}-\frac{a^2+4}{2(a-2)(a+2)}-\frac{2}{a(a+2)}.\]

Общий знаменатель: $2a(a-2)(a+2)$.

\[\frac{a^2(a+2)-a(a^2+4)-4(a-2)}{2a(a-2)(a+2)}=\frac{2(a-2)^2}{2a(a-2)(a+2)}=\frac{a-2}{a(a+2)}.\]

Теперь выполним деление дробей:

\[\frac{a-2}{4(a+2)^2}:\frac{a-2}{a(a+2)}=\frac{a-2}{4(a+2)^2}\cdot\frac{a(a+2)}{a-2}=\frac{a}{4(a+2)}.\]

ОДЗ: $a\ne -2,\ 0,\ 2$.

Ответ: а) $-\frac{3}{x-1}$, $x\ne -2,1,2$; б) $\frac{a}{4(a+2)}$, $a\ne -2,0,2$.

158. Предъявите в виде дроби: а) \(\frac{x+2}{x^2-2x+1}\cdot\frac{3x-3}{x^2-4}-\frac{3}{x-2}\); б) \(\frac{a-2}{4a^2+16a+16}:\left(\frac{a}{2a-4}-\frac{a^2+4}{2a^2-8}-\frac{2}{a^2+2a}\right)\).