Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 158. Решите уравнения: 1) √(5 − x) − √(5 + x) = 2; 2) √(12 + x) − √(1 − x) = 1; 3) √(x − 2) + √(x + 6) = 0; 4) √(x + 7) + √(x…Фото задания

Ответ:

  1. ОДЗ: −5 ≤ x ≤ 5. Обозначим a = √(5 − x), b = √(5 + x). Тогда a − b = 2, а разность квадратов даёт (a − b)(a + b) = −2x, поэтому a + b = −x. Следовательно, a = (2 − x)/2. Возводим в квадрат: (2 − x)²/4 = 5 − x, откуда x² = 16. Проверка в исходном уравнении: x = −4 подходит, x = 4 не подходит.
    Ответ: x = −4.

  2. ОДЗ: −12 ≤ x ≤ 1. Обозначим a = √(12 + x), b = √(1 − x). Из a − b = 1 и (a − b)(a + b) = 11 + 2x получаем a + b = 11 + 2x. Значит, a = 6 + x, b = 5 + x. Тогда (5 + x)² = 1 − x, откуда (x + 3)(x + 8) = 0. Значение x = −8 не подходит: оно не удовлетворяет полученному условию b = 5 + x ≥ 0. Проверка x = −3: √9 − √4 = 1.
    Ответ: x = −3.

  3. Каждый квадратный корень неотрицателен. Их сумма равна нулю только тогда, когда оба корня равны нулю. Это потребовало бы одновременно x = 2 и x = −6, что невозможно.
    Ответ: решений нет.

  4. ОДЗ: x ≥ 2. Обозначим a = √(x + 7), b = √(x − 2). Из a + b = 9 и (a − b)(a + b) = 9 получаем a − b = 1. Поэтому a = 5, b = 4. Из √(x − 2) = 4 следует x = 18. Проверка: √25 + √16 = 5 + 4 = 9.
    Ответ: x = 18.