159. При каком значении a выражение \((0,5(a-1)^2-18)\left(\frac{a+5}{a-7}+\frac{a-7}{a+5}\right)\) принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

Область допустимых значений: \(a\ne7\) и \(a\ne-5\).

Преобразуем первый множитель: \(0,5(a-1)^2-18=0,5((a-1)^2-36)=0,5(a-7)(a+5)\).

Сложим дроби во втором множителе и сократим общие множители:

\[0,5(a-7)(a+5)\cdot\frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{(a-7)(a+5)}=0,5\big((a+5)^2+(a-7)^2\big).\]

Раскроем скобки: \(0,5(2a^2-4a+74)=a^2-2a+37=(a-1)^2+36\).

Так как квадрат неотрицателен, наименьшее значение выражения равно 36 при \(a=1\). Это значение входит в область допустимых значений.

Ответ: при \(a=1\); наименьшее значение — 36.