159. Решите уравнение: 1) (x² − 9x)/(x + 3) = 36/(x + 3); 2) (x² + x)/(x² − 25) = (45 − 3x)/(x² − 25); 3) (5x − 8)/(x − 1) = (14x + 12)/(3x + 5); 4) 1/(x − 4) − 1/(x + 6) = 5/28; 5) 42/(x² + 5x) − 3/(x² − 5x) = 7/x; 6) x/(x + 8) + (x + 8)/(x − 8) = (x² + x + 72)/(x² − 64); 7) (3x − 5)/(x² − 1) = (3x + 2)/(x² + x) = (6x − 5)/(x² − x); 8) 3/(3x² + x) − 4/(9x² − 1) = 2/(9x² + 6x + 1).

1. ОДЗ: x ≠ −3. При равных ненулевых знаменателях: x² − 9x = 36, то есть (x − 12)(x + 3) = 0. Значение −3 исключено, поэтому x = 12.

2. ОДЗ: x ≠ ±5. Приравниваем числители: x² + x = 45 − 3x, откуда x² + 4x − 45 = 0 и (x + 9)(x − 5) = 0. Значение 5 исключено, поэтому x = −9.

3. ОДЗ: x ≠ 1, −5/3. Перемножаем крест-накрест: (5x − 8)(3x + 5) = (14x + 12)(x − 1). После упрощения x² + 3x − 28 = 0, то есть (x + 7)(x − 4) = 0. Оба корня допустимы: x = −7 или x = 4.

4. ОДЗ: x ≠ 4, −6. Приводим левую часть к общей дроби: 10/((x − 4)(x + 6)) = 5/28. Получаем (x − 4)(x + 6) = 56, откуда x² + 2x − 24 = 0 и x = 4 или −6. Оба значения нарушают ОДЗ, поэтому корней нет.

5. ОДЗ: x ≠ 0, ±5. Умножаем уравнение на x(x + 5)(x − 5): 42(x − 5) − 3(x + 5) = 7(x² − 25). Отсюда 7x² − 39x + 50 = 0; корни x = 2 и x = 25/7. Оба допустимы.

6. ОДЗ: x ≠ ±8. Умножаем на (x + 8)(x − 8): x(x − 8) + (x + 8)² = x² + x + 72. Получаем x² + 7x − 8 = 0, то есть (x + 8)(x − 1) = 0. Значение −8 исключено, поэтому x = 1.

7. ОДЗ: x ≠ −1, 0, 1. Равенство первой и второй дробей даёт 2x² + x − 1 = 0, откуда с учётом ОДЗ x = 1/2. Равенство второй и третьей дробей требует 3x² + 2x − 3 = 0. Значение 1/2 этому уравнению не удовлетворяет, поэтому общего значения, при котором все три дроби равны, нет.

8. ОДЗ: x ≠ 0, ±1/3. Умножаем на x(3x − 1)(3x + 1)²: 3(3x − 1)(3x + 1) − 4x(3x + 1) = 2x(3x − 1). После упрощения получаем 9x² − 2x − 3 = 0, поэтому x = (1 ± 2√7)/9. Оба значения допустимы.

Ответ: 1) 12; 2) −9; 3) −7, 4; 4) корней нет; 5) 2, 25/7; 6) 1; 7) корней нет; 8) (1 ± 2√7)/9.