15 Дана функция f(x) = |4 + 12/(x+2)|. 1) Постройте график функции y = f(x). 2) При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

Решение:

1. Построение графика функции y = f(x)

Сначала построим график вспомогательной функции g(x) = 4 + 12/(x+2).

Это гипербола, которую можно получить из графика y = 12/x путем сдвига влево на 2 единицы (получим y = 12/(x+2)) и сдвига вверх на 4 единицы (получим y = 4 + 12/(x+2)).

• Асимптоты функции g(x):
• Вертикальная асимптота: x = -2.
• Горизонтальная асимптота: y = 4.
• Точки пересечения с осями:
• С осью Oy (x=0): g(0) = 4 + 12/(0+2) = 4 + 6 = 10. Точка (0, 10).
• С осью Ox (y=0): 4 + 12/(x+2) = 0 => 12/(x+2) = -4 => 12 = -4(x+2) => 12 = -4x - 8 => 4x = -20 => x = -5. Точка (-5, 0).

Теперь построим график функции f(x) = |g(x)|. Это означает, что часть графика g(x), лежащая ниже оси Ox, будет симметрично отражена вверх.

Асимптоты функции f(x):

• Вертикальная асимптота: x = -2.
• Горизонтальная асимптота: y = 4 (верхняя часть графика) и y = -4 (отраженная нижняя часть графика, но так как функция неотрицательная, эта асимптота не будет достигаться, скорее это будет приближение к -4 снизу).

Точки пересечения функции f(x) с осями:

• С осью Oy (x=0): f(0) = |4 + 12/(0+2)| = |4+6| = 10. Точка (0, 10).
• С осью Ox (y=0): |4 + 12/(x+2)| = 0 => 4 + 12/(x+2) = 0 => x = -5. Точка (-5, 0).

График:

График будет состоять из двух ветвей гиперболы. Ветвь справа от x=-2 будет начинаться от +бесконечности (y→+∞ при x→-2⁺), проходить через точку (0, 10) и асимптотически приближаться к y=4 при x→+∞. Ветвь слева от x=-2 будет начинаться от +бесконечности (y→+∞ при x→-2⁻), проходить через точку (-5, 0) и асимптотически приближаться к y=4 при x→-∞.

(Для точного построения графика требуется графический инструмент или подробное построение точек).

2. Значения c, при которых уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение

Чтобы уравнение f(x) = c имело ровно одно решение, прямая y = c должна пересекать график функции y = f(x) ровно в одной точке.

Рассмотрим поведение графика:

• При x → -2⁺, f(x) → +∞.
• При x → -2⁻, f(x) → +∞.
• Минимальное значение функции. Для этого нужно рассмотреть |4 + 12/(x+2)|.
• Если 4 + 12/(x+2) ≥ 0, то f(x) = 4 + 12/(x+2). Это происходит, когда 12/(x+2) ≥ -4.
• Если x+2 > 0 (x > -2), то 12 ≥ -4(x+2) => 12 ≥ -4x - 8 => 4x ≥ -20 => x ≥ -5. Так как x > -2, то это условие выполняется для x > -2.
• Если x+2 < 0 (x < -2), то 12 ≤ -4(x+2) (знак неравенства меняется) => 12 ≤ -4x - 8 => 4x ≤ -20 => x ≤ -5.

Таким образом, 4 + 12/(x+2) ≥ 0 при x ≤ -5 и при x > -2.

В этих интервалах f(x) = 4 + 12/(x+2). Минимальное значение на интервале x > -2 приближается к 4. Минимальное значение на интервале x ≤ -5 достигается при x = -5, где f(-5) = 0.

Если 4 + 12/(x+2) < 0, то f(x) = -(4 + 12/(x+2)) = -4 - 12/(x+2). Это происходит, когда -5 < x < -2.

В интервале (-5, -2), функция g(x) = 4 + 12/(x+2) принимает значения от -∞ до 0 (при x → -2⁻, g(x) → -∞; при x = -5, g(x) = 0). Следовательно, f(x) = -(4 + 12/(x+2)) будет принимать значения от +∞ до 0 (при x → -2⁻, f(x) → +∞; при x → -5, f(x) → 0).

Рассмотрим горизонтальные линии y = c:

• Если c < 0, решений нет, так как f(x) ≥ 0.
• Если c = 0, есть одно решение: x = -5.
• Если 0 < c < 4, прямая y = c пересечет обе ветви графика (где f(x) = 4 + 12/(x+2) для x ≤ -5 и где f(x) = -4 - 12/(x+2) для -5 < x < -2), давая два решения.
• Если c = 4, прямая y = 4 пересекает график в двух точках. (При x→±∞, f(x) → 4, но прямая y=4 не пересекает ветви гиперболы, так как 4 + 12/(x+2) = 4 => 12/(x+2) = 0, что невозможно).
• Если c > 4, прямая y = c пересечет обе ветви графика (где f(x) = 4 + 12/(x+2) для x ≤ -5 и для x > -2), давая два решения.
• Особый случай — когда часть графика g(x) отражается. Это происходит, когда 4 + 12/(x+2) < 0, то есть -5 < x < -2. В этом интервале f(x) = -(4 + 12/(x+2)). Вершина этой отраженной части будет находиться на уровне, когда 4 + 12/(x+2) = 0, то есть x = -5. График f(x) = |4 + 12/(x+2)| имеет точки пересечения с осью Ox при x = -5.

Проанализируем ещё раз:

График y = 4 + 12/(x+2) имеет ветви в 1-м и 3-м квадрантах относительно центра (-2, 4). Точка пересечения с Ox: (-5, 0). Точка пересечения с Oy: (0, 10).

После взятия модуля:

• Ветвь для x > -2: от +∞ к 4 (не включая 4), проходит через (0, 10).
• Ветвь для x < -2: начинается от +∞ при x → -2⁻, проходит через (-5, 0), асимптотически приближается к 4 при x → -∞.

Теперь рассмотрим y = c:

• c = 0: Прямая y=0 пересекает график в одной точке x=-5.
• 0 < c < 4: Прямая y=c пересекает обе ветви графика, давая 2 решения.
• c = 4: Прямая y=4 не пересекает график (является асимптотой).
• c > 4: Прямая y=c пересекает обе ветви графика, давая 2 решения.

Пересмотрим условие f(x) = c имеет ровно одно решение.

Это произойдет, когда прямая y=c будет касаться графика в вершине или пересекать только одну из ветвей.

Точки, где f(x) может иметь одно решение:

1. f(x) = 0. Это происходит при x = -5. Одно решение.
2. Значение, соответствующее вершине отраженной части.
   Исходная функция g(x) = 4 + 12/(x+2). Когда 4 + 12/(x+2) < 0, то есть -5 < x < -2, мы отражаем часть графика. Ветвь g(x) для -5 < x < -2 идет от -∞ (при x → -2⁻) до 0 (при x=-5). После отражения f(x) = -(4 + 12/(x+2)) будет идти от +∞ (при x → -2⁻) до 0 (при x=-5). Пик этой части графика (минимальное значение f(x) в интервале -5 < x < -2) будет при x=-5, где f(-5)=0.

Возможно, есть ошибка в рассуждениях. Вернемся к анализу ветвей.

График y = |4 + 12/(x+2)|:

1. Функция 4 + 12/(x+2) имеет:

• Вертикальную асимптоту x = -2.
• Горизонтальную асимптоту y = 4.
• Точку пересечения с Ox: x = -5.
• Точку пересечения с Oy: y = 10.

2. График y = |4 + 12/(x+2)|:

• Вертикальная асимптота x = -2.
• Горизонтальная асимптота y = 4 (справа от -2 и слева от -2).
• Точка пересечения с Ox: x = -5 (f(-5) = 0).
• Точка пересечения с Oy: y = 10.
• Нижняя часть графика (где 4 + 12/(x+2) < 0) отражается вверх. Это происходит для x в интервале (-5, -2).

Рассмотрим значения c:

• c = 0: Прямая y=0 пересекает график только в точке x = -5. Одно решение.
• 0 < c < 4: Прямая y=c пересечет ветвь справа от x=-2 (где f(x) стремится к 4 сверху) и ветвь слева от x=-2 (где f(x) стремится к 4 сверху). То есть 2 решения.
• c = 4: Прямая y=4 является горизонтальной асимптотой. Она не пересекает график. 0 решений.
• c > 4: Прямая y=c пересечет ветвь справа от x=-2 (f(x) идет от 4 до +∞) и ветвь слева от x=-2 (f(x) идет от 4 до +∞). То есть 2 решения.

Пропустили один важный момент: отражение части графика!

Когда 4 + 12/(x+2) < 0, то есть -5 < x < -2, эта часть графика отражается. График функции 4 + 12/(x+2) в интервале (-5, -2) идет от 0 (в точке -5) до -∞ (при x → -2⁻). Отраженная часть, f(x) = -(4 + 12/(x+2)), будет идти от 0 (при x=-5) до +∞ (при x → -2⁻).

Итак, график f(x) = |4 + 12/(x+2)|:

• Ветвь справа от x = -2: начинается от +∞ (при x → -2⁺), проходит через (0, 10), асимптотически приближается к y = 4 (снизу).
• Ветвь слева от x = -2: начинается от +∞ (при x → -2⁻), проходит через (-5, 0).

Анализ y = c:

• c < 0: нет решений.
• c = 0: одно решение (x = -5).
• 0 < c < 4: два решения (по одному на каждой ветви, до точки пересечения с Oy).
• c = 4: нет решений (асимптота).
• c > 4: два решения (по одному на каждой ветви).

Кажется, я упускаю случай, когда у нас есть локальный максимум или минимум после взятия модуля.

Давайте разберем функцию 4 + 12/(x+2) более детально.

g(x) = 4 + 12/(x+2)

g'(x) = -12/(x+2)^2. Производная всегда отрицательна, функция убывает на интервалах (-∞, -2) и (-2, +∞).

f(x) = |g(x)|.

Если g(x) > 0, то f(x) = g(x). Это на интервалах (-∞, -5] и (-2, +∞).

Если g(x) < 0, то f(x) = -g(x). Это на интервале (-5, -2).

На интервале (-5, -2), g(x) убывает от 0 до -∞. Следовательно, -g(x) возрастает от 0 до +∞.

Таким образом, график f(x):

• На (-∞, -5]: убывает от +∞ до 0.
• В точке x = -5: f(-5) = 0 (минимум).
• На (-5, -2): возрастает от 0 до +∞.
• На (-2, +∞): убывает от +∞ до 4 (асимптота).

Анализ y = c:

• c < 0: нет решений.
• c = 0: одно решение (x = -5).
• 0 < c < 4: два решения (одно на (-∞, -5), одно на (-5, -2)).
• c = 4: нет решений (асимптота).
• c > 4: два решения (одно на (-∞, -5) или (-5, -2) и одно на (-2, +∞)).

Проблема в том, что я не учитываю, как ветви себя ведут при |g(x)|.

Вернемся к картинке графика:

y = 4 + 12/(x+2) - гипербола с центром в (-2, 4).

Ветвь справа от x=-2: идет из правой верхней четверти центра, проходит через (0, 10), стремится к y=4.

Ветвь слева от x=-2: идет из левой нижней четверти центра, проходит через (-5, 0), стремится к y=4.

Теперь берем модуль f(x) = |y|:

1. Ветвь справа от x=-2: y > 0. Значит, f(x) = y. График совпадает с g(x). Проходит через (0, 10), стремится к y=4.

2. Ветвь слева от x=-2:

• Для x ≤ -5, y ≥ 0. Значит, f(x) = y. График совпадает с g(x). Проходит через (-5, 0), стремится к y=4.
• Для -5 < x < -2, y < 0. Значит, f(x) = -y. Эта часть графика отражается вверх. Она начинается от 0 (при x=-5), и стремится к +∞ (при x → -2⁻).

График y = f(x) имеет:

• Вертикальную асимптоту x = -2.
• Горизонтальную асимптоту y = 4 (справа от -2 и слева от -2, но только для x ≤ -5).
• Точку минимума (0, 0) при x = -5.
• Проходит через (0, 10).

Теперь линия y = c:

• c < 0: нет решений.
• c = 0: одно решение (x = -5).
• 0 < c < 4: два решения (одно на ветви слева от -2, другое на ветви справа от -2).
• c = 4: нет решений (асимптота).
• c > 4: два решения (по одному на каждом из двух участков графика, где y > 4).

Может быть, есть вершина, которая дает одно решение?

Функция |4 + 12/(x+2)|. Если 4 + 12/(x+2) = 0, то x = -5. Это точка пересечения с осью x, где f(x)=0. Это одно решение.

Когда f(x) = c имеет ровно одно решение? Это происходит, когда прямая y=c является горизонтальной асимптотой, но эта асимптота не достигается. Или когда прямая y=c проходит через точку экстремума, которая является единственной.

Анализ графика f(x) = |4 + 12/(x+2)|:

• Для x > -2: f(x) = 4 + 12/(x+2). Эта часть графика находится выше y=4 (так как 12/(x+2) > 0 для x > -2). Она начинается от +∞ и стремится к 4.
• Для x < -2:
• Если x ≤ -5: f(x) = 4 + 12/(x+2). Эта часть графика идет от +∞ (при x → -2⁻) до 0 (при x=-5).
• Если -5 < x < -2: f(x) = -(4 + 12/(x+2)). Эта часть графика идет от 0 (при x=-5) до +∞ (при x → -2⁻).

Таким образом, график f(x) состоит из:

• Правой ветви, которая находится над y=4.
• Левой ветви, которая также находится над y=4 (при x ≤ -5) и поднимается до +∞ (при x → -2⁻).
• Отраженной части между x=-5 и x=-2, которая начинается от 0 и поднимается до +∞.

Ключевой момент: Когда 4 + 12/(x+2) = 0? При x = -5. f(-5) = 0.

Пересмотрим значения c:

• c = 0: Прямая y = 0 пересекает график в точке x = -5. Одно решение.
• 0 < c < 4: Прямая y = c пересечет три участка графика:
• Участок справа от x = -2 (где f(x) > 4).
• Участок слева от x = -2, где x ≤ -5 (где f(x) > 4).
• Участок между x = -5 и x = -2 (где f(x) > 0).

Это дает 3 решения. Это неверно.

Давайте вернемся к исходной идее: y = c должно пересекать график ровно один раз.

График f(x) = |4 + 12/(x+2)|:

1. Горизонтальные асимптоты: y=4.

2. Вертикальная асимптота: x=-2.

3. Пересечение с осью X: x = -5, f(-5) = 0.

4. Поведение:

• При x → -2⁺, f(x) → +∞.
• При x → -2⁻, f(x) → +∞.
• При x → +∞, f(x) → 4⁺.
• При x → -∞, f(x) → 4⁺.
• В интервале (-5, -2), график отражен вверх.

Чтобы y = c имело ровно одно решение, прямая y = c должна быть:

• c = 0. В этом случае y = 0 пересекает график только в точке x = -5.
• c = 4. Но y = 4 является асимптотой, она не пересекает график.

Есть ли точка, которая является единственным минимумом или максимумом?

Минимум функции f(x) = |4 + 12/(x+2)| достигается при x=-5, где f(-5) = 0.

Чтобы получить ровно одно решение, прямая y=c должна проходить через эту точку минимума, или быть такой, что только одна ветвь графика находится на уровне c.

Возвращаемся к анализу ветвей:

y = |4 + 12/(x+2)|

1. x > -2:

4 + 12/(x+2) > 0. Поэтому f(x) = 4 + 12/(x+2). Эта ветвь идет от +∞ при x → -2⁺ и стремится к 4 при x → +∞. Значения функции на этом участке: (4, +∞).

2. x < -2:

• Если x ≤ -5: 4 + 12/(x+2) ≥ 0. f(x) = 4 + 12/(x+2). Эта ветвь идет от +∞ при x → -2⁻ и стремится к 4 при x → -∞. Значения функции на этом участке: [0, +∞).
  (Более точно: на (-∞, -5] функция убывает от +∞ до 0. Значения: [0, +∞)).
• Если -5 < x < -2: 4 + 12/(x+2) < 0. f(x) = -(4 + 12/(x+2)). Эта часть отражена. Она начинается от 0 при x = -5 и стремится к +∞ при x → -2⁻. Значения функции на этом участке: (0, +∞).
  (Более точно: на (-5, -2) функция возрастает от 0 до +∞).

Объединяя участки для x < -2:

• На (-∞, -5]: f(x) принимает значения [0, +∞).
• На (-5, -2): f(x) принимает значения (0, +∞).

Итак, значения функции f(x):

• На x > -2: (4, +∞)
• На x ≤ -5: [0, +∞)
• На -5 < x < -2: (0, +∞)

Пересечение с y = c:

• c = 0: Прямая y = 0 пересекает график только в точке x = -5. Одно решение.
• 0 < c ≤ 4: Прямая y = c пересечет:
  - Участок (-∞, -5] (одно решение).
  - Участок (-5, -2) (одно решение).
  - Участок (-2, +∞) (если 0 < c ≤ 4, то одно решение).
  Всего 3 решения, если 0 < c < 4. Если c=4, то правая ветвь не пересечет.

Это все еще не дает ровно одного решения.

Проблемный момент — значение c=4.

При x → +∞, f(x) → 4⁺. При x → -∞, f(x) → 4⁺.

Прямая y=4 является горизонтальной асимптотой, но не достигается.

Ключевая идея: когда прямая y = c пересекает график ровно один раз.

Это происходит, когда:

• c = 0. Пересекает в точке x = -5.
• c = 4. Если бы 4 достигалось как локальный максимум или минимум, было бы одно решение. Но 4 — это асимптота.

Давайте еще раз посмотрим на интервалы значений функции:

• Интервал x > -2: f(x) ∈ (4, +∞)
• Интервал x ≤ -5: f(x) ∈ [0, +∞)
• Интервал -5 < x < -2: f(x) ∈ (0, +∞)

Пересечения с y = c:

• c < 0: Нет решений.
• c = 0: Одно решение (x = -5).
• 0 < c ≤ 4: Прямая y = c пересечет:
  - Интервал x ≤ -5 (одно решение, так как [0, +∞) включает значения от 0 до +∞).
  - Интервал -5 < x < -2 (одно решение, так как (0, +∞) включает значения от 0 до +∞).
  - Интервал x > -2 (одно решение, если c ≤ 4. Если c < 4, то одно решение. Если c = 4, то нет решений на этом интервале).

Анализ для c = 4:

y = 4.

1. x > -2: 4 + 12/(x+2) = 4 => 12/(x+2) = 0. Нет решений.

2. x ≤ -5: 4 + 12/(x+2) = 4 => 12/(x+2) = 0. Нет решений.

3. -5 < x < -2: -(4 + 12/(x+2)) = 4 => 4 + 12/(x+2) = -4 => 12/(x+2) = -8 => 12 = -8(x+2) => 12 = -8x - 16 => 8x = -28 => x = -28/8 = -7/2 = -3.5. Решение x = -3.5. Это значение лежит в интервале (-5, -2).

Значит, при c = 4 есть одно решение.

Итак, у нас есть два случая для одного решения:

1. c = 0.
2. c = 4.

Проверим еще раз.

График y = |4 + 12/(x+2)|:

1. x > -2: f(x) = 4 + 12/(x+2). Значения (4, +∞).

2. x ≤ -5: f(x) = 4 + 12/(x+2). Значения [0, +∞).

3. -5 < x < -2: f(x) = -(4 + 12/(x+2)). Значения (0, +∞).

Пересечение с y = c:

c = 0: Единственное пересечение в x = -5. (из случая 2).

0 < c < 4: Пересечет:
- x ≤ -5 (одно решение).
- -5 < x < -2 (одно решение).
Всего 2 решения. (Правая ветвь x > -2 не пересечет, так как значения там > 4).

c = 4: Пересечет:
- x ≤ -5 (нет решений, так как значения [0, +∞) не включают 4, если считать от +∞ к 0, то 4 есть).

Пересмотр значений функции:

1. x > -2: f(x) ∈ (4, +∞).

2. x ≤ -5: f(x) ∈ [0, +∞).

3. -5 < x < -2: f(x) ∈ (0, +∞).

Анализ y = c:

c = 0: Одно решение (x = -5).

0 < c < 4: Два решения: одно в (-∞, -5) и одно в (-5, -2).

c = 4: Прямая y = 4.
- x > -2: 4 + 12/(x+2) = 4 => 12/(x+2) = 0. Нет решений.
- x ≤ -5: 4 + 12/(x+2) = 4 => 12/(x+2) = 0. Нет решений.
- -5 < x < -2: -(4 + 12/(x+2)) = 4 => 4 + 12/(x+2) = -4 => 12/(x+2) = -8 => x = -3.5. Одно решение.

c > 4: Два решения: одно в (-∞, -5) и одно в (-2, +∞).

Следовательно, ровно одно решение получается при c = 0 и c = 4.

Ответ:

1) График функции y = |4 + 12/(x+2)| имеет вертикальную асимптоту x = -2. Горизонтальная асимптота y = 4. График пересекает ось Ox в точке x = -5. При x > -2, график находится над прямой y=4. При x ≤ -5, график идет от +∞ до 0. При -5 < x < -2, график начинается от 0 и уходит до +∞.

2) Уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение при c = 0 и c = 4.