15 В 9:00 из пункта А в пункт В, расстояние между которыми по реке равно 99 км, вышел теплоход. Пробыв в пункте В 2 ч, он отправился назад и прибыл в пункт А в 17:40. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость теплохода равна 30 км/ч. Решение: Ответ:

Для решения этой задачи нам нужно рассчитать время в пути туда и обратно, а затем использовать формулу скорости, времени и расстояния.

1. Время в пути туда и обратно:

   Теплоход вышел из пункта А в 9:00 и вернулся в 17:40. Общее время в пути составило:

   17 часов 40 минут - 9 часов 00 минут = 8 часов 40 минут.

   Переведем это время в часы: 8 часов 40 минут = 8 + 40/60 = 8 + 2/3 = 26/3 часа.

2. Время нахождения в пункте В:

   Теплоход пробыл в пункте В 2 часа.

3. Время движения по воде:

   Вычтем время нахождения в пункте В из общего времени в пути:

   \[ \frac{26}{3} - 2 = \frac{26}{3} - \frac{6}{3} = \frac{20}{3} \text{ часа} \]

4. Расстояние:

   Расстояние между пунктами А и В по реке равно 99 км.

5. Скорость теплохода по течению и против течения:

   Пусть $$v_{тек}$$ - скорость течения реки, а $$v_{соб}$$ - собственная скорость теплохода. По условию, $$v_{соб} = 30$$ км/ч.

   Скорость по течению: $$v_{по\\,тек} = v_{соб} + v_{тек} = 30 + v_{тек}$$.

   Скорость против течения: $$v_{против\\,тек} = v_{соб} - v_{тек} = 30 - v_{тек}$$.

6. Уравнение движения:

   Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных по течению и против течения. Так как расстояние туда и обратно одинаковое, мы можем записать:

   \[ 99 = (30 + v_{тек}) \cdot t_{туда} \]

   \[ 99 = (30 - v_{тек}) \cdot t_{обратно} \]

   Время в пути туда и обратно в сумме составляет 20/3 часа. Мы не знаем, сколько времени занял каждый отрезок пути по отдельности. Однако, мы знаем, что общий путь туда и обратно составил 2 * 99 км = 198 км.

   Общее время движения = время по течению + время против течения.

   \[ \frac{99}{30 + v_{тек}} + \frac{99}{30 - v_{тек}} = \frac{20}{3} \]

7. Решение уравнения:

   Разделим обе части на 99:

   \[ \frac{1}{30 + v_{тек}} + \frac{1}{30 - v_{тек}} = \frac{20}{3 \cdot 99} = \frac{20}{297} \]

   Приведем к общему знаменателю:

   \[ \frac{(30 - v_{тек}) + (30 + v_{тек})}{(30 + v_{тек})(30 - v_{тек})} = \frac{20}{297} \]

   \[ \frac{60}{900 - v_{тек}^2} = \frac{20}{297} \]

   Перекрестное умножение:

   \[ 60 \cdot 297 = 20 \cdot (900 - v_{тек}^2) \]

   \[ 17820 = 18000 - 20 v_{тек}^2 \]

   \[ 20 v_{тек}^2 = 18000 - 17820 \]

   \[ 20 v_{тек}^2 = 180 \]

   \[ v_{тек}^2 = \frac{180}{20} \]

   \[ v_{тек}^2 = 9 \]

   Извлекаем квадратный корень:

   \[ v_{тек} = \sqrt{9} = 3 \text{ км/ч} \]

Проверка:

Время по течению: $$t_{туда} = \frac{99}{30 + 3} = \frac{99}{33} = 3$$ часа.

Время против течения: $$t_{обратно} = \frac{99}{30 - 3} = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}$$ часа.

Общее время: $$3 + \frac{11}{3} = \frac{9}{3} + \frac{11}{3} = \frac{20}{3}$$ часа. Это совпадает с нашим расчетом.

Ответ: 3 км/ч