15 ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 Код 80007 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 72 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Решение.

Дано:

• Расстояние между пунктами А и В: $$ S = 72 $$ км
• Скорость течения реки: $$ v_{реки} = 3 $$ км/ч
• Время в пути на обратном пути меньше на 2 часа.

Найти:

• Собственная скорость катера: $$ v_{катера} - ? $$ км/ч

Решение:

1. Обозначения:
   • Пусть $$ v_{катера} $$ — собственная скорость катера (км/ч).
   • Скорость катера по течению: $$ v_{по\\text{ течению}} = v_{катера} + v_{реки} = (v_{катера} + 3) $$ км/ч.
   • Скорость катера против течения: $$ v_{против\\text{ течения}} = v_{катера} - v_{реки} = (v_{катера} - 3) $$ км/ч.
   • Время в пути из А в В (по течению): $$ t_1 = \frac{S}{v_{по\text{ течению}}} = \frac{72}{v_{катера} + 3} $$ ч.
   • Время в пути из В в А (против течения): $$ t_2 = \frac{S}{v_{против\text{ течения}}} = \frac{72}{v_{катера} - 3} $$ ч.
2. Уравнение:
   • По условию, на обратный путь (против течения) катер затратил на 2 часа меньше, чем на путь из А в В (по течению).
   • Следовательно: $$ t_2 = t_1 - 2 $$.
   • Подставляем выражения для времени: $$ \frac{72}{v_{катера} - 3} = \frac{72}{v_{катера} + 3} - 2 $$.
3. Решение уравнения:
   • Приведем дроби к общему знаменателю $$ (v_{катера} - 3)(v_{катера} + 3) $$.
   • $$ \frac{72(v_{катера} + 3)}{(v_{катера} - 3)(v_{катера} + 3)} = \frac{72(v_{катера} - 3)}{(v_{катера} - 3)(v_{катера} + 3)} - \frac{2(v_{катера} - 3)(v_{катера} + 3)}{(v_{катера} - 3)(v_{катера} + 3)} $$.
   • Умножим обе части уравнения на $$ (v_{катера} - 3)(v_{катера} + 3) $$, при условии $$ v_{катера} \neq 3 $$ и $$ v_{катера} \neq -3 $$.
   • $$ 72(v_{катера} + 3) = 72(v_{катера} - 3) - 2(v_{катера}^2 - 9) $$.
   • $$ 72v_{катера} + 216 = 72v_{катера} - 216 - 2v_{катера}^2 + 18 $$.
   • $$ 72v_{катера} + 216 = 72v_{катера} - 198 - 2v_{катера}^2 $$.
   • Перенесем все члены в левую часть:
   • $$ 2v_{катера}^2 + 216 + 198 = 0 $$.
   • $$ 2v_{катера}^2 + 414 = 0 $$.
   • $$ 2v_{катера}^2 = -414 $$.
   • $$ v_{катера}^2 = -207 $$.
   • Из этого уравнения следует, что действительных решений нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
   • Давайте перепроверим условие и наши вычисления.
   • Возможно, катер шел по течению из А в В, а обратно против течения.
   • Переформулируем уравнение, исходя из того, что путь из А в В занял больше времени.
   • Путь из А в В (расстояние 72 км) мог быть по течению или против течения.
   • Путь обратно (из В в А, расстояние 72 км) был в противоположном направлении.
   • Предположим, что из А в В катер шел по течению.
   • Время по течению: $$ t_1 = \frac{72}{v_{катера} + 3} $$.
   • Время против течения: $$ t_2 = \frac{72}{v_{катера} - 3} $$.
   • По условию, обратный путь занял на 2 часа меньше, то есть $$ t_2 = t_1 - 2 $$.
   • $$ \frac{72}{v_{катера} - 3} = \frac{72}{v_{катера} + 3} - 2 $$.
   • $$ 2 = \frac{72}{v_{катера} + 3} - \frac{72}{v_{катера} - 3} $$.
   • $$ 2 = \frac{72(v_{катера} - 3) - 72(v_{катера} + 3)}{(v_{катера} + 3)(v_{катера} - 3)} $$.
   • $$ 2 = \frac{72v_{катера} - 216 - 72v_{катера} - 216}{v_{катера}^2 - 9} $$.
   • $$ 2 = \frac{-432}{v_{катера}^2 - 9} $$.
   • $$ 2(v_{катера}^2 - 9) = -432 $$.
   • $$ v_{катера}^2 - 9 = -216 $$.
   • $$ v_{катера}^2 = -216 + 9 $$.
   • $$ v_{катера}^2 = -207 $$.
   • Это снова приводит к квадратному уравнению с отрицательным результатом, что означает, что мое первоначальное предположение о направлении движения было неверным, или я неправильно интерпретировал условие.
   • Перечитаем условие: