16. 1) $\left(\frac{4a^2-9a^{-2}}{2a^{-3}-a^{-1}}+\frac{a^2-4+3a}{a-a^{-1}}\right)$; 2) $\left(\frac{1}{(a+b)^{-2}}-\left(\frac{a-b}{a^3+b^3}-1\right)\cdot(a-b)^{-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 16. 1) $\left(\frac{4a^2-9a^{-2}}{2a^{-3}-a^{-1}}+\frac{a^2-4+3a}{a-a^{-1}}\right)$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) В выражении есть степени с отрицательными показателями, поэтому сначала заменим их дробями. Область допустимых значений: $a\ne0$, $a^2\ne2$.

$\displaystyle \frac{4a^2-9a^{-2}}{2a^{-3}-a^{-1}}=\frac{4a^2-9/a^2}{2/a^3-1/a}=\frac{(4a^4-9)/a^2}{(2-a^2)/a^3}=\frac{a(4a^4-9)}{2-a^2}.$

$\displaystyle \frac{a^2-4+3a}{a-a^{-1}}=\frac{a^2+3a-4}{(a^2-1)/a}=\frac{(a+4)(a-1)}{(a-1)(a+1)/a}=\frac{a(a+4)}{a+1}.$

Следовательно, $\displaystyle \frac{a(4a^4-9)}{2-a^2}+\frac{a(a+4)}{a+1}=\frac{a\big((4a^4-9)(a+1)+(a+4)(2-a^2)\big)}{(2-a^2)(a+1)}.$

Ответ: $\displaystyle \frac{a\big((4a^4-9)(a+1)+(a+4)(2-a^2)\big)}{(2-a^2)(a+1)}$, где $a\ne0,\ a^2\ne2,\ a\ne-1$.

2) Область допустимых значений: $a+b\ne0$, $a^3+b^3\ne0$, $a-b\ne0$. Первое слагаемое: $\displaystyle \frac{1}{(a+b)^{-2}}=(a+b)^2.$

Упростим выражение в скобках, используя $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$\displaystyle \frac{a-b}{a^3+b^3}-1=\frac{a-b-(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3+b^3}.$

Так как $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$, после умножения на $(a-b)^{-1}=1/(a-b)$ получаем

$\displaystyle \left(\frac{a-b}{a^3+b^3}-1\right)(a-b)^{-1}=\frac{a-b-a^3-b^3}{(a^3+b^3)(a-b)}.$

Значит, всё выражение равно $\displaystyle (a+b)^2-\frac{a-b-a^3-b^3}{(a^3+b^3)(a-b)}.$

Ответ: $\displaystyle (a+b)^2-\frac{a-b-a^3-b^3}{(a^3+b^3)(a-b)}$, где $a+b\ne0,\ a^3+b^3\ne0,\ a-b\ne0$.

16. 1) \(\left(\frac{4a^2-9a^{-2}}{2a^{-3}-a^{-1}}+\frac{a^2-4+3a}{a-a^{-1}}\right)\); 2) \(\left(\frac{1}{(a+b)^{-2}}-\left(\frac{a-b}{a^3+b^3}-1\right)\cdot(a-b)^{-1}\).