16. (1балл) Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С гипотенузой 4 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.

Дано:

• Треугольник АВС — прямоугольный и равнобедренный, \( \angle C = 90^{\circ} \).
• Гипотенуза \( AB = 4 \) см.
• \( CM \perp \text{плоскости} \triangle ABC \).
• \( CM = 2 \) см.

Найти:

• Расстояние от точки М до прямой АВ.

Решение:

1. Поскольку \( \triangle ABC \) — прямоугольный и равнобедренный, \( \angle A = \angle B = 45^{\circ} \).
2. Найдем катеты \( AC \) и \( BC \). По теореме Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \). Так как \( AC = BC \), то \( 2 AC^2 = 4^2 \), \( 2 AC^2 = 16 \), \( AC^2 = 8 \), \( AC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) см.
3. Опустим из точки М перпендикуляр \( MH \) на прямую АВ. \( MH \) будет искомым расстоянием.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle CMB \). \( CB = 2\sqrt{2} \) см, \( CM = 2 \) см.
5. Рассмотрим треугольник \( \triangle ABM \). Площадь \( \triangle ABM \) можно найти как \( S_{ABM} = S_{CMB} \) (если бы \( M \) была в плоскости), но \( M \) не лежит в плоскости.
6. Спроектируем точку \( M \) на плоскость \( \triangle ABC \). Так как \( CM \perp \text{плоскости} \triangle ABC \), то \( C \) является проекцией \( M \) на эту плоскость.
7. Расстояние от точки \( M \) до прямой \( AB \) — это длина перпендикуляра, опущенного из \( M \) на \( AB \).
8. Пусть \( H \) — точка на \( AB \) такая, что \( MH ⊥ AB \).
9. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABM \).
10. Высота \( CH \) в прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) к гипотенузе \( AB \) равна \( CH = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{(2√2) · (2√2)}{4} = \frac{8}{4} = 2 \) см.
11. Поскольку \( CM \perp \text{плоскости} \triangle ABC \) и \( CH ⊥ AB \), то по теореме о трех перпендикулярах \( MH ⊥ AB \).
12. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle CMH \). \( CM = 2 \) см (катет), \( CH = 2 \) см (катет).
13. По теореме Пифагора: \( MH^2 = CM^2 + CH^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \) см.
14. \( MH = √8 = 2√2 \) см.

Ответ: \( 2√2 \) см.