№16.3 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1120 тысяч рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; - 15-го числа n-го месяца долг составит 480 тысяч рублей; - к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 2888 тыс рублей.

Решение:

Обозначим сумму кредита как \( S = 1120 \) тыс. руб. Обозначим ежемесячный платёж как \( X \) тыс. руб. и процентную ставку как \( r \). Условия возврата кредита описывают следующую схему выплат:

1. Начало: \( S_0 = 1120 \) тыс. руб. (сумма кредита).

2. Начисление процентов и выплата:

• 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на \( r \)%.
• 2-го по 14-е число каждого месяца выплачивается часть долга.
• 15-го числа каждого месяца происходит выплата, и долг уменьшается на \( 40 \) тыс. руб. по сравнению с предыдущим месяцем.

3. Описание выплат:

Пусть \( S_k \) — сумма долга на 15-е число \( k \)-го месяца.

\( S_0 = 1120 \)

1-й месяц:

Долг на 1-е число: \( 1120 \cdot \frac{100+r}{100} \)

15-го числа \( S_1 = 1120 - 40 = 1080 \)

2-й месяц:

Долг на 1-е число: \( 1080 \cdot \frac{100+r}{100} \)

15-го числа \( S_2 = 1080 - 40 = 1040 \)

k-й месяц:

Долг на 1-е число: \( S_{k-1} · \frac{100+r}{100} \)

15-го числа \( S_k = S_{k-1} - 40 \)

4. Условие погашения:

15-го числа \( n \)-го месяца долг составит \( 480 \) тыс. руб. \( S_n = 480 \).

15-го числа \( (n+1) \)-го месяца кредит должен быть полностью погашен, то есть \( S_{n+1} = 0 \).

Из условия \( S_k = S_{k-1} - 40 \) и \( S_n = 480 \) следует, что \( S_{n+1} = S_n - 40 = 480 - 40 = 440 \). Однако, в условии сказано, что \( S_{n+1} = 0 \). Это означает, что платёж \( X \) не равен \( 40 \) тыс. руб. каждый месяц, а является фиксированным, и \( 480 \) — это долг ДО последнего платежа.

Рассмотрим схему выплат более детально, учитывая, что \( S_{n+1} = 0 \).

Пусть \( K = \frac{100+r}{100} \).

\( S_1 = S_0 · K - X_1 \)

\( S_2 = S_1 · K - X_2 \)

... \( S_n = S_{n-1} · K - X_n \)

\( S_{n+1} = S_n · K - X_{n+1} = 0 \)

По условию:

\( S_{15-го числа 1-го месяца \) = \( S_0 \)

\( S_{15-го числа 2-го месяца \) = \( S_0 · K - X_1 \) = \( S_1 \)

\( S_{15-го числа 3-го месяца \) = \( S_1 · K - X_2 \) = \( S_2 \)

... \( S_{15-го числа n-го месяца \) = \( S_{n-1} · K - X_{n-1} = 480 \)

\( S_{15-го числа (n+1)-го месяца \) = \( S_n · K - X_n = 0 \)

Из условия \( 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца \) следует, что \( X_1 = X_2 = ... = X_{n-1} = 40 \).

Таким образом, \( S_k = S_{k-1} - 40 \) для \( k = 1, ..., n-1 \).

\( S_0 = 1120 \)

\( S_1 = 1120 - 40 = 1080 \)

\( S_2 = 1080 - 40 = 1040 \)

... \( S_{n-1} = 1120 - (n-1) · 40 \)

Далее, \( S_n = 480 \). Это означает, что \( S_n = S_{n-1} · K - X_n \), где \( X_n \) — это последний платёж, который погашает остаток долга.

Подставим \( S_{n-1} = 480 + 40 = 520 \) (поскольку \( S_n = S_{n-1} - 40 \) , но это не совсем верно, так как \( S_{n-1} \) относится к \( n-1 \) месяцу, а \( S_n \) к \( n \)-му, и правило \( -40 \) применяется до \( n \)-го месяца).

Let's re-evaluate the condition: '15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца'. This means: \( S_1 = S_0 - 40 \), \( S_2 = S_1 - 40 \), ..., \( S_n = S_{n-1} - 40 \).

Given \( S_0 = 1120 \) and \( S_n = 480 \).

\( S_n = S_0 - n · 40 \)

\( 480 = 1120 - n · 40 \)

\( n · 40 = 1120 - 480 \)

\( n · 40 = 640 \)

\( n = \frac{640}{40} = 16 \).

So, the debt is reduced by 40 thousand rubles for 16 months, up to the 15th of the 16th month, where the debt is 480 thousand rubles.

Now, let's consider the growth of the debt due to interest.

The debt on the 1st of month \( k \) is \( S_{k-1} \). After interest, it becomes \( S_{k-1} · K \).

On the 15th of month \( k \) (for \( k = 1, ..., n \)), the debt becomes \( S_k = S_{k-1} · K - X_k \).

For \( k = 1, ..., 15 \) (since \( n = 16 \), the reduction of 40 applies up to month 16), the payment \( X_k \) is such that \( S_k = S_{k-1} - 40 \).

This implies \( S_{k-1} · K - X_k = S_{k-1} - 40 \).

On the 15th of month 16, the debt is \( S_{16} = 480 \).

On the 1st of month 17, the debt becomes \( 480 · K \).

By the 15th of month 17, the loan is fully repaid, so \( S_{17} = 0 \).

This means the payment on the 15th of month 17 is equal to the debt on the 1st of month 17.

\( X_{17} = 480 · K \).

The total sum of payments is given as 2888 thousand rubles.

The payments are: \( X_1, X_2, ..., X_{16}, X_{17} \).

For \( k = 1, ..., 15 \), \( S_k = S_{k-1} - 40 \).

\( S_0 = 1120 \)

\( S_1 = 1120 - 40 = 1080 \)

... \( S_{15} = 1120 - 15 · 40 = 1120 - 600 = 520 \).

The condition '15-го числа n-го месяца долг составит 480 тысяч рублей' means \( S_n = 480 \). Since \( n=16 \), this refers to the debt on the 15th of the 16th month. So, \( S_{16} = 480 \).

This means that the payment on the 15th of the 16th month, \( X_{16} \), is such that: \( S_{15} · K - X_{16} = 480 \).

\( 520 · K - X_{16} = 480 \).

The condition that the debt reduces by 40 thousand rubles each month applies for months 1 to n. So for month 16, the debt on the 15th is \( S_{16} = S_{15} - 40 \) IF the payment \( X_{16} \) is such that the debt is reduced by 40.

Let's interpret the condition literally: The debt on the 15th of month \( k \) is \( S_k \). The debt on the 15th of month \( k+1 \) is \( S_{k+1} \).

The rule '15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца' means \( S_k = S_{k-1} - 40 \) for \( k = 1, 2, ..., n \). This phrasing is problematic if interest is involved.

Let's assume there is a fixed payment \( P \) each month, except for the last one.

Let's try to model the debt with monthly payments \( P \). Let \( S_0 = 1120 \).

Month 1: \( S_0 · K - P = S_1 \)

Month 2: \( S_1 · K - P = S_2 \)

... \( S_{n-1} · K - P = S_n \)

\( S_n = 480 \).

Month \( n+1 \): \( S_n · K - P_{n+1} = 0 \), where \( P_{n+1} \) is the final payment.

The condition '15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца' implies that the net reduction of the principal due to payment \( P_k \) (after accounting for interest) is 40.

So, \( S_{k-1} - S_k = 40 \) for \( k = 1, ..., n \). This means \( S_n = S_0 - n · 40 \).

\( 480 = 1120 - n · 40 \) => \( n · 40 = 640 \) => \( n = 16 \).

So, there are 16 months where the principal is reduced by 40, and \( S_{16} = 480 \).

The debt on the 1st of the 17th month is \( 480 · K \). This amount is paid on the 15th of the 17th month, so \( P_{17} = 480 · K \).

The total sum of payments is \( Ø \sum_{k=1}^{17} P_k = 2888 \).

The payments \( P_k \) for \( k = 1, ..., 16 \) are such that \( S_k = S_{k-1} - 40 \).

This means \( S_{k-1} · K - P_k = S_{k-1} - 40 \).

\( P_k = S_{k-1} · K - (S_{k-1} - 40) = S_{k-1} · (K - 1) + 40 \).

\( K - 1 = \frac{100+r}{100} - 1 = \frac{r}{100} \).

So, \( P_k = S_{k-1} · \frac{r}{100} + 40 \) for \( k = 1, ..., 16 \).

The total sum of payments is \( Ø « \sum_{k=1}^{16} P_k + P_{17} = 2888 \).

\( Ø « \sum_{k=1}^{16} (S_{k-1} · \frac{r}{100} + 40) + 480 · K = 2888 \).

\( Ø « \frac{r}{100} · Ø « \sum_{k=1}^{16} S_{k-1} + 16 · 40 + 480 · K = 2888 \).

The sum of the debts on the 15th of each month from 0 to 15 is an arithmetic progression: \( S_0, S_1, ..., S_{15} \).

\( S_0 = 1120 \)

\( S_1 = 1080 \)

... \( S_{15} = 520 \).

The sum \( Ø « \sum_{k=0}^{15} S_k = \frac{16}{2} · (1120 + 520) = 8 · 1640 = 13120 \).

So, \( Ø « \frac{r}{100} · 13120 + 640 + 480 · K = 2888 \).

\( 131.2 · r + 640 + 480 · \frac{100+r}{100} = 2888 \).

\( 131.2 · r + 640 + 4.8 · (100+r) = 2888 \).

\( 131.2 · r + 640 + 480 + 4.8 · r = 2888 \).

\( (131.2 + 4.8) · r + 1120 = 2888 \).

\( 136 · r = 2888 - 1120 \).

\( 136 · r = 1768 \).

\( r = \frac{1768}{136} \).

\( 1768 / 136 ≈ 13 \). Let's check.

\( 136 · 10 = 1360 \)

\( 1768 - 1360 = 408 \)

\( 136 · 3 = 408 \)

So, \( r = 13 \).

Let's verify this. If \( r = 13 \% \), then \( K = 1.13 \).

\( S_0 = 1120 \)

\( S_1 = 1120 - 40 = 1080 \). Payment \( P_1 = 1120 · 1.13 - 1080 = 1265.6 - 1080 = 185.6 \).

\( S_2 = 1080 - 40 = 1040 \). Payment \( P_2 = 1080 · 1.13 - 1040 = 1210.4 - 1040 = 170.4 \).

... \( S_{15} = 520 \). Payment \( P_{16} = 520 · 1.13 - 480 = 587.6 - 480 = 107.6 \).

\( S_{16} = 480 \).

Final payment \( P_{17} = 480 · 1.13 = 542.4 \).

Total payments = \( P_1 + P_2 + ... + P_{16} + P_{17} \).

We know \( P_k = S_{k-1} · \frac{r}{100} + 40 \) for \( k=1, ..., 16 \). This is incorrect interpretation.

Let's rethink the payment structure.

The total amount repaid is 2888. The original loan is 1120. The total interest paid is \( 2888 - 1120 = 1768 \).

Let's use annuity payment formula with modifications.

Let \( P \) be the monthly payment.

The debt on the 15th of month \( k \) is \( D_k \). \( D_0 = 1120 \).

\( D_k = D_{k-1} · K - P_k \), where \( K = 1 + r/100 \).

Condition 1: \( D_k = D_{k-1} - 40 \) for \( k = 1, ..., n \). This means \( P_k = D_{k-1} · K - (D_{k-1} - 40) = D_{k-1} · (K-1) + 40 \).

Condition 2: \( D_n = 480 \).

Condition 3: \( D_{n+1} = 0 \).

From \( D_k = D_{k-1} - 40 \) for \( k=1,...,n \), we have \( n = (D_0 - D_n) / 40 = (1120 - 480) / 40 = 640 / 40 = 16 \).

So, \( n = 16 \). This means there are 16 principal reduction steps of 40.

The debt on the 15th of month 16 is \( D_{16} = 480 \).

The debt on the 1st of month 17 is \( D_{16} · K = 480 · K \).

This debt is paid off on the 15th of month 17. So the last payment \( P_{17} = 480 · K \).

The payments \( P_k \) for \( k = 1, ..., 16 \) are such that \( D_k = D_{k-1} - 40 \). So the payments are:

\( P_k = D_{k-1} · (K-1) + 40 \) for \( k = 1, ..., 16 \).

Total sum of payments = \( Ø « \sum_{k=1}^{16} P_k + P_{17} = 2888 \).

\( Ø « \sum_{k=1}^{16} (D_{k-1} · (K-1) + 40) + 480 · K = 2888 \).

\( (K-1) · Ø « \sum_{k=1}^{16} D_{k-1} + 16 · 40 + 480 · K = 2888 \).

\( D_0, D_1, ..., D_{15} \) is an arithmetic progression: \( 1120, 1080, ..., 520 \).

The sum \( Ø « \sum_{k=0}^{15} D_k = Ø « \frac{16}{2} · (1120 + 520) = 8 · 1640 = 13120 \).

So, \( \frac{r}{100} · 13120 + 640 + 480 · K = 2888 \).

\( 131.2 · r + 640 + 480 · \frac{100+r}{100} = 2888 \).

\( 131.2 · r + 640 + 4.8 · (100+r) = 2888 \).

\( 131.2 · r + 640 + 480 + 4.8 · r = 2888 \).

\( 136 · r + 1120 = 2888 \).

\( 136 · r = 1768 \).

\( r = \frac{1768}{136} = 13 \).

So, the interest rate is \( 13 \% \).

Check:

\( r = 13 \% \), \( K = 1.13 \).

\( S_0 = 1120 \).

Payments for months 1 to 16: \( P_k = S_{k-1} · 0.13 + 40 \).

\( P_1 = 1120 · 0.13 + 40 = 145.6 + 40 = 185.6 \).

\( P_2 = 1080 · 0.13 + 40 = 140.4 + 40 = 180.4 \).

\( P_{16} = S_{15} · 0.13 + 40 = 520 · 0.13 + 40 = 67.6 + 40 = 107.6 \).

Last payment: \( P_{17} = S_{16} · K = 480 · 1.13 = 542.4 \).

Sum of payments = \( Ø « \sum_{k=1}^{16} P_k + P_{17} \).

\( Ø « \sum_{k=1}^{16} P_k = Ø « \sum_{k=1}^{16} (S_{k-1} · 0.13 + 40) = 0.13 · Ø « \sum_{k=0}^{15} S_k + 16 · 40 \).

\( Ø « \sum_{k=0}^{15} S_k = 13120 \).

Sum of first 16 payments = \( 0.13 · 13120 + 640 = 1705.6 + 640 = 2345.6 \).

Total payments = \( 2345.6 + 542.4 = 2888 \).

The calculation is correct.

Ответ: r = 13%.