16. (3 балла) Решите уравнение: 2sin²x - sinx-cosx =0.

Решение:

Уравнение: \( 2\sin^2 x - \sin x \cdot \cos x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( \sin x \) за скобки:

\( \sin x (2\sin x - \cos x) = 0 \)

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

Случай 1: \( \sin x = 0 \)

Это происходит при \( x = \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Случай 2: \( 2\sin x - \cos x = 0 \)

Разделим обе части уравнения на \( \cos x \) (при условии \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \). В этом случае \( \sin x = \pm 1 \). Подставим в уравнение: \( 2(\pm 1)^2 - (\pm 1) \cdot 0 = 0 \) → \( 2 \neq 0 \), значит \( \cos x \neq 0 \)).

\( 2\frac{\sin x}{\cos x} - 1 = 0 \)

\( 2\tan x - 1 = 0 \)

\( 2\tan x = 1 \)

\( \tan x = \frac{1}{2} \)

Это происходит при \( x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \pi k \) и \( x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n \), где \( k, n \) — целые числа.