№16.6 В июле 2026 года планируется взять кредит на 12 лет под 29% годовых. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 29% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — в июле 2029 года долг должен составить 243 000 рублей; — в июле 2030, 2031, 2032, 2033, 2034, 2035, 2036, 2037 и 2038 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2038 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите сумму кредита, если общая сумма выплат после полного погашения кредита будет равна 906 300 рублей.

Решение:

Обозначим сумму кредита как S. Процентная ставка по кредиту составляет 29% годовых. Это означает, что каждый год долг увеличивается в 1,29 раза.

1. Расчёт долга по годам:

• В июле 2026 года сумма кредита равна S.
• В январе 2027 года долг увеличится на 29%: $$S \times 1.29$$.
• В июле 2027 года после первого платежа долг уменьшится на величину $$x_1$$. Сумма долга к июлю 2027 года: $$S \times 1.29 - x_1$$.
• В январе 2028 года долг увеличится на 29%: $$(S \times 1.29 - x_1) \times 1.29$$.
• В июле 2028 года после второго платежа долг уменьшится на $$x_1$$. Сумма долга к июлю 2028 года: $$(S \times 1.29 - x_1) \times 1.29 - x_1$$.
• В январе 2029 года долг увеличится на 29%: $$((S \times 1.29 - x_1) \times 1.29 - x_1) \times 1.29$$.
• В июле 2029 года после третьего платежа долг уменьшится на $$x_1$$. Сумма долга к июлю 2029 года: $$((S \times 1.29 - x_1) \times 1.29 - x_1) \times 1.29 - x_1$$.

По условию, в июле 2029 года долг составляет 243 000 рублей.

2. Расчёт платежей $$x_1$$:

Кредит берется на 12 лет, с июля 2026 по июль 2038 года. Период выплат: 12 лет. платежи производятся в июле каждого года.

В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг уменьшается на одну и ту же величину $$x_1$$.

Сумма долга к июлю 2029 года: $$S \times 1.29^3 - x_1 \times 1.29^2 - x_1 \times 1.29 - x_1 = 243000$$.

$$S \times 1.29^3 - x_1 (1.29^2 + 1.29 + 1) = 243000$$.

$$S \times 2.146689 - x_1 (1.6641 + 1.29 + 1) = 243000$$.

$$2.146689 S - 3.9541 x_1 = 243000$$. (Уравнение 1)

3. Расчёт платежей $$x_2$$:

С июля 2030 года по июль 2038 года (9 лет) долг уменьшается на другую одну и ту же величину $$x_2$$.

Сумма долга к июлю 2030 года: $$243000 \times 1.29 - x_2$$.

Сумма долга к июлю 2031 года: $$(243000 \times 1.29 - x_2) \times 1.29 - x_2$$.

Общая сумма выплат равна 906 300 рублей. Эта сумма состоит из платежей $$x_1$$ (3 раза) и $$x_2$$ (9 раз).

Общая сумма выплат = $$3x_1 + 9x_2 = 906300$$.

Разделим на 3: $$x_1 + 3x_2 = 302100$$.

Из уравнения 1: $$3.9541 x_1 = 2.146689 S - 243000$$.

$$x_1 = \frac{2.146689 S - 243000}{3.9541}$$.

Из $$x_1 + 3x_2 = 302100$$, $$3x_2 = 302100 - x_1$$, $$x_2 = 100700 - \frac{x_1}{3}$$.

4. Условие полного погашения долга:

К июлю 2038 года долг должен быть выплачен полностью. Это означает, что после последнего платежа ($$x_2$$) долг равен 0.

Долг к июлю 2029 года = 243000.

К июлю 2030: $$243000 \times 1.29 - x_2$$.

К июлю 2031: $$(243000 \times 1.29 - x_2) \times 1.29 - x_2 = 243000 \times 1.29^2 - x_2(1.29 + 1)$$.

К июлю 2038 (через 9 лет после июля 2029):

$$243000 \times 1.29^9 - x_2(1.29^8 + 1.29^7 + ... + 1.29 + 1) = 0$$.

Сумма геометрической прогрессии: $$1.29^8 + ... + 1 = \frac{1.29^9 - 1}{1.29 - 1}$$.

$$243000 \times 1.29^9 = x_2 \times \frac{1.29^9 - 1}{0.29}$$.

$$x_2 = 243000 \times 1.29^9 \times \frac{0.29}{1.29^9 - 1}$$.

Рассчитаем $$1.29^9 \approx 10.5375$$.

$$x_2 \approx 243000 \times 10.5375 \times \frac{0.29}{10.5375 - 1} \approx 243000 \times 10.5375 \times \frac{0.29}{9.5375} \approx 243000 \times 10.5375 \times 0.03041 \approx 77829.8$$.

Теперь найдём $$x_1$$: $$x_1 = 302100 - 3x_2 \approx 302100 - 3 \times 77829.8 \approx 302100 - 233489.4 \approx 68610.6$$.

Подставим $$x_1$$ в Уравнение 1:

$$2.146689 S - 3.9541 \times 68610.6 = 243000$$.

$$2.146689 S - 271271.3 = 243000$$.

$$2.146689 S = 243000 + 271271.3 = 514271.3$$.

$$S = \frac{514271.3}{2.146689} \approx 239578.5$$.

Проверка:

Сумма выплат = $$3 \times 68610.6 + 9 \times 77829.8 \approx 205831.8 + 700468.2 \approx 906300$$.

Вывод: Сумма кредита составляет примерно 239 578,5 рублей.

Ответ: 239 578,5 рублей.