16. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 16°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Задание 16. Углы в окружности

Дано:

• Окружность с центром O.
• AC и BD — диаметры.
• Угол ACB: \( \angle ACB = 16^\circ \).

Найти: Угол AOD \( \angle AOD \).

Решение:

1. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен удвоенному вписанному углу:
• \( \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB \)
• \( \angle AOB = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ \)
2. Углы AOD и AOB являются смежными, так как AC — прямая линия (диаметр). Сумма смежных углов равна 180°.
3. Но в данном случае AC и BD пересекаются в центре O. Угол AOD и угол BOC — вертикальные углы, поэтому \( \angle AOD = \angle BOC \).
4. Угол AOB и угол BOC — смежные, их сумма равна 180°.
5. \( \angle AOB + \angle BOC = 180^\circ \)
6. \( 32^\circ + \angle BOC = 180^\circ \)
7. \( \angle BOC = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \)
8. Так как \( \angle AOD = \angle BOC \) (вертикальные углы), то \( \angle AOD = 148^\circ \).

Альтернативное решение:

1. Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен \( \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ \).
2. Угол AOD и угол BOC — вертикальные, поэтому \( \angle AOD = \angle BOC \).
3. Угол AOB и угол AOD — смежные (лежат на диаметре BD).
4. \( \angle AOB + \angle AOD = 180^\circ \)
5. \( 32^\circ + \angle AOD = 180^\circ \)
6. \( \angle AOD = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \).

Ответ: 148