16. Bir oshxona bir oyda eng ko‘pi bilan 1000 nafar mijozga xizmat ko‘rsata oladi. Agar oshxona bir kishilik tushlik narxini 40000 so‘m qilib belgilasa, bir oyda aynan 1000 nafar mijoz xizmatdan foydalanadi. Oshxona rahbariyati tushlik narxi har 5000 so‘mga oshirilganda, bir oy davomida tushlik qiluvchi mijozlar soni 50 nafarga kamayadi. Oshxona bir oyda eng katta tushum (daromad) olish uchun bir kishilik tushlik narxini necha so‘m qilib belgilashi kerak?

Перевод задания: Столовая может обслужить не более 1000 клиентов в месяц. При цене обеда 40 000 сумов в месяц обслуживаются ровно 1000 клиентов. При повышении цены на каждые 5000 сумов число клиентов уменьшается на 50. Какую цену нужно установить, чтобы получить наибольшую месячную выручку?

Yechish: Har 5000 so‘mlik oshirishga to‘g‘ri keladigan qadamlar sonini \(x\) deb belgilaymiz.

Shunda tushlik narxi \(40000+5000x\) so‘m, mijozlar soni esa \(1000-50x\) nafar bo‘ladi.

Oylik tushum:

\[R(x)=(40000+5000x)(1000-50x).\]

Ko‘paytmani ochamiz:

\[R(x)=40000000+3000000x-250000x^2.\]

Bu pastga qaragan kvadrat funksiya, uning eng katta qiymati uchida bo‘ladi. Uchning abssissasi:

\[x=\frac{-3000000}{2\cdot(-250000)}=6.\]

Demak, narx 6 marta 5000 so‘mga oshiriladi:

\[40000+6\cdot5000=70000\text{ so‘m}.\]

Tekshirish: bu narxda \(1000-6\cdot50=700\) mijoz bo‘ladi, tushum esa \(70000\cdot700=49000000\) so‘m.

Javob: bir kishilik tushlik narxini 70 000 so‘m qilib belgilash kerak.

Решение по-русски: Пусть \(x\) — число повышений цены на 5000 сумов. Тогда цена равна \(40000+5000x\), а число клиентов — \(1000-50x\). Выручка: \(R(x)=(40000+5000x)(1000-50x)=40000000+3000000x-250000x^2\). Максимум квадратичной функции достигается при \(x=-3000000/(2\cdot(-250000))=6\). Значит, цена составляет \(40000+6\cdot5000=70000\) сумов. При этом придут 700 клиентов, а выручка составит 49 000 000 сумов.

Ответ: 70 000 сумов за обед.