16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 134°, угол CAD равен 81°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Задание 16. Угол вписанного четырёхугольника

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• \( \angle ABC = 134^\circ \)
• \( \angle CAD = 81^\circ \)

Найти: \( \angle ABD \)

Решение:

1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Следовательно, \( \angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ \).
2. Угол \( \angle ADC \) состоит из углов \( \angle ADB \) и \( \angle BDC \).
3. Угол \( \angle ADC \) является центральным углом, опирающимся на дугу ABC.
4. \( \angle ABC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу ADC.
5. \( \angle BCD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BAD. \( \angle BCD = 180^\circ - \angle BAD \).
6. Рассмотрим \( \triangle ADC \). \( \angle ACD = \angle ADC - \angle CAD \) — это неверно, так как \( \triangle ADC \) не обязательно является прямоугольным.
7. Углы \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) опираются на одну дугу AD. Следовательно, \( \angle ABD = \angle ACD \).
8. Углы \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \) опираются на одну дугу CD. Следовательно, \( \angle CBD = \angle CAD = 81^\circ \).
9. Угол \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \).
10. Подставим известные значения: \( 134^\circ = \angle ABD + 81^\circ \).
11. Выразим \( \angle ABD \): \( \angle ABD = 134^\circ - 81^\circ = 53^\circ \).

Ответ: 53