16. Диагональ АС ромба ABCD равна 36, а tg∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей. Тогда \( \triangle BOC \) — прямоугольный треугольник с \( \angle BOC = 90^{\circ} \).

Диагональ \( AC = 36 \), значит, \( OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18 \).

В \( \triangle BOC \): \( \text{tg} \angle BCA = \frac{OB}{OC} \).

По условию \( \text{tg} \angle BCA = \frac{4}{3} \). Следовательно, \( \frac{OB}{18} = \frac{4}{3} \).

Отсюда \( OB = \frac{4}{3} \cdot 18 = 4 \cdot 6 = 24 \).

Диагональ \( BD = 2 \cdot OB = 2 \cdot 24 = 48 \).

Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 48 = 18 \cdot 48 = 864 \).

Радиус окружности, вписанной в ромб, равен высоте ромба, делённой пополам. Высота ромба \( h = \frac{S}{a} \), где \( a \) — сторона ромба.

Найдем сторону ромба \( BC \) из \( \triangle BOC \) по теореме Пифагора:

\[ BC^2 = OB^2 + OC^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900 \]

\[ BC = \sqrt{900} = 30 \]

Высота ромба \( h = \frac{864}{30} = \frac{86.4}{3} = 28.8 \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{h}{2} = \frac{28.8}{2} = 14.4 \).

Ответ: 14,4