16. Диагональ трапеции ABCD делит ее на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Найдите среднюю линию трапеции, если \(S_{\triangle ABC}=50\text{ см}^2\).

Треугольник ABC — прямоугольный равнобедренный, причём прямой угол расположен при B. Поэтому его катеты равны: \(AB=BC\), а диагональ AC является гипотенузой.

Площадь такого треугольника выражается через гипотенузу:

\[S_{\triangle ABC}=\frac{AC^2}{4}.\]

Подставим значение площади:

\[\frac{AC^2}{4}=50,\qquad AC^2=200.\]

Из равенства катетов в треугольнике ABC:

\[AB=\frac{AC}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{200}}{\sqrt2}=10\text{ см}.\]

В треугольнике ACD прямой угол расположен при C, поэтому это также прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами \(AC\) и \(CD\). Его площадь:

\[S_{\triangle ACD}=\frac{AC^2}{2}=\frac{200}{2}=100\text{ см}^2.\]

Площадь трапеции:

\[S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=50+100=150\text{ см}^2.\]

Высота трапеции равна \(AB=10\text{ см}\). По формуле площади трапеции \(S=mh\), где \(m\) — средняя линия:

\[m=\frac{S_{ABCD}}{h}=\frac{150}{10}=15\text{ см}.\]

Ответ: 15 см.