16 Диаметры АВ и CD окружности пересекаются в точке О. Найдите величину угла ADO, если ∠BOD=128°.

Привет! Давай разберемся с этой геометрической задачкой.

Что нам дано?

• \[ AB \text{ и } CD \text{ — диаметры окружности.} \]
• \[ \angle BOD = 128^{\circ}. \]

Что нужно найти?

• \[ \angle ADO \]

Решение:

1. \[ AB \text{ и } CD \text{ — диаметры, следовательно, они пересекаются в центре окружности } O. \]
2. \[ OA, OB, OC, OD \text{ — радиусы одной окружности, поэтому } OA = OB = OC = OD. \]
3. \[ \angle AOD \text{ и } \angle BOC \text{ — вертикальные углы, значит, } \angle AOD = \angle BOC. \]
4. \[ \angle BOD \text{ и } \angle AOC \text{ — вертикальные углы, значит, } \angle AOC = \angle BOD = 128^{\circ}. \]
5. \[ \text{Сумма углов вокруг точки } O \text{ равна } 360^{\circ}. \]
6. \[ \angle BOD + \angle AOD + \angle BOC + \angle AOC = 360^{\circ}. \]
7. \[ \text{Так как } \angle AOD = \angle BOC, \text{ то } 2 \cdot \angle BOD + 2 \cdot \angle AOD = 360^{\circ}. \]
8. \[ \text{Подставляем известное значение } \angle BOD = 128^{\circ}: \]
9. \[ 2 \cdot 128^{\circ} + 2 \cdot \angle AOD = 360^{\circ} \]
10. \[ 256^{\circ} + 2 \cdot \angle AOD = 360^{\circ} \]
11. \[ 2 \cdot \angle AOD = 360^{\circ} - 256^{\circ} \]
12. \[ 2 \cdot \angle AOD = 104^{\circ} \]
13. \[ \angle AOD = \frac{104^{\circ}}{2} = 52^{\circ}. \]
14. \[ \text{Теперь рассмотрим треугольник } \triangle AOD. \]
15. \[ OA = OD \text{ (радиусы), значит, } \triangle AOD \text{ — равнобедренный.} \]
16. \[ \text{В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: } \angle OAD = \angle ODA. \]
17. \[ \text{Сумма углов в } \triangle AOD \text{ равна } 180^{\circ}: \]
18. \[ \angle AOD + \angle OAD + \angle ODA = 180^{\circ} \]
19. \[ 52^{\circ} + 2 \cdot \angle ODA = 180^{\circ} \]
20. \[ 2 \cdot \angle ODA = 180^{\circ} - 52^{\circ} \]
21. \[ 2 \cdot \angle ODA = 128^{\circ} \]
22. \[ \angle ODA = \frac{128^{\circ}}{2} = 64^{\circ}. \]
23. \[ \text{Угол } \angle ODA \text{ совпадает с искомым углом } \angle ADO. \]

Ответ: 64°