16 Диаметры АВ и CD окружности пересекаются в точке О. Найдите величину угла ADO, если ∠BOD=142°.

Решение:

1. Вертикальные углы: Угол AOD и угол BOC являются вертикальными, поэтому они равны. Угол AOC и угол BOD также являются вертикальными, поэтому они равны.
2. Смежные углы: Углы AOC и BOC являются смежными, их сумма равна 180°.
3. Расчет угла AOC: Мы знаем, что $$\angle BOD = 142°$$. Так как углы AOC и BOD вертикальные, то $$\angle AOC = \angle BOD = 142°$$.
4. Расчет угла BOC: Так как углы AOC и BOC смежные, то $$\angle AOC + \angle BOC = 180°$$. Следовательно, $$\angle BOC = 180° - \angle AOC = 180° - 142° = 38°$$.
5. Треугольник AOD: Рассмотрим треугольник AOD. AO и DO являются радиусами окружности, поэтому треугольник AOD — равнобедренный.
6. Угол DAO: Угол DAO и угол ADO равны, так как они являются углами при основании равнобедренного треугольника.
7. Угол AOD: Углы AOD и BOC являются вертикальными, поэтому $$\angle AOD = \angle BOC = 38°$$.
8. Расчет угла ADO: Сумма углов в треугольнике AOD равна 180°. Следовательно, $$\angle ADO + \angle DAO + \angle AOD = 180°$$. Так как $$\angle ADO = \angle DAO$$, то $$2 \cdot \angle ADO + 38° = 180°$$.
9. Решение для ADO: $$2 \cdot \angle ADO = 180° - 38° = 142°$$. $$\angle ADO = 142° / 2 = 71°$$.

Ответ: 71°