Контрольные задания > 16 Хорда CD перпендикулярна диаметру АВ окружности. Найдите угол CBD, если угол САВ равен 27°. Ответ дайте в градусах.
Вопрос:

16 Хорда CD перпендикулярна диаметру АВ окружности. Найдите угол CBD, если угол САВ равен 27°. Ответ дайте в градусах.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Метод: Для решения задачи будем использовать свойства углов, опирающихся на дугу окружности, и тот факт, что сумма углов в треугольнике равна 180°.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Определим, что угол CAD опирается на дугу CD. Так как CD перпендикулярна AB, то дуга CB равна дуге DB.
  2. Шаг 2: Угол CAB = 27°, он также опирается на дугу CB. Угол CDB также опирается на дугу CB, поэтому угол CDB = угол CAB = 27°.
  3. Шаг 3: Так как CD перпендикулярна AB, то точка пересечения CD и AB (назовем ее O) является центром полуокружности, если CD — диаметр, но в данном случае AB — диаметр. Угол CAD опирается на дугу CD. Поскольку CD перпендикулярна AB, дуга CA равна дуге DA. Следовательно, угол CBA опирается на дугу CA, а угол CDA опирается на дугу CA. Значит, угол CBA = угол CDA.
  4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник AOC. Угол AOC = 90° (т.к. CD перпендикулярна AB). Угол CAO = 27°. Тогда угол ACO = 180° - 90° - 27° = 63°.
  5. Шаг 5: Угол COB является смежным с углом AOC, поэтому угол COB = 180° - 90° = 90°.
  6. Шаг 6: В треугольнике COB, OC = OB (радиусы), значит, треугольник COB равнобедренный. Угол OCB = угол OBC. Сумма углов в треугольнике COB: угол COB + угол OCB + угол OBC = 180°. 90° + 2 * угол OBC = 180°. 2 * угол OBC = 90°. Угол OBC = 45°.
  7. Шаг 7: Угол CBD является частью угла CBA. В задаче нам дан угол CAB = 27°. Угол CBD нам нужно найти.
  8. Шаг 8: В прямоугольном треугольнике AOD, угол DAO = 27°. Угол ODA = 90° - 27° = 63°.
  9. Шаг 9: Угол CDB опирается на дугу CB. Угол CAB опирается на дугу CB. Следовательно, угол CDB = угол CAB = 27°.
  10. Шаг 10: Рассмотрим треугольник OBD. OB = OD (радиусы). Угол ODB = 63°. Значит, угол OBD = угол ODB = 63°.
  11. Шаг 11: Однако, это противоречит тому, что AB - диаметр, а CD перпендикулярна AB. Если CD перпендикулярна AB, то дуги AC и AD равны, и дуги BC и BD равны.
  12. Шаг 12: Угол CAB = 27° опирается на дугу CB. Угол CDB также опирается на дугу CB, поэтому угол CDB = 27°.
  13. Шаг 13: Угол CAD опирается на дугу CD. Угол CBD опирается на дугу CD. Следовательно, угол CBD = угол CAD.
  14. Шаг 14: Рассмотрим треугольник AOC. Угол AOC = 90°. Угол CAO = 27°. Угол ACO = 180° - 90° - 27° = 63°.
  15. Шаг 15: Так как AB — диаметр и CD перпендикулярна AB, то AB делит окружность на две полуокружности. CD также делит окружность.
  16. Шаг 16: Угол CAB = 27° опирается на дугу CB. Угол COD — центральный угол, опирающийся на дугу CD.
  17. Шаг 17: В прямоугольном треугольнике, образованном пересечением CD и AB, углы равны 90°.
  18. Шаг 18: Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
  19. Шаг 19: Дуга CB равна углу CAB = 27°.
  20. Шаг 20: Угол CBD опирается на дугу CD.
  21. Шаг 21: Так как CD перпендикулярна AB, то дуга AC = дуга AD.
  22. Шаг 22: Угол ABC опирается на дугу AC. Угол ADC опирается на дугу AC.
  23. Шаг 23: Угол BAC = 27° опирается на дугу BC.
  24. Шаг 24: Угол BDC опирается на дугу BC, следовательно, угол BDC = 27°.
  25. Шаг 25: Поскольку CD перпендикулярна AB, то AB делит дугу CD пополам.
  26. Шаг 26: Угол CAD опирается на дугу CD.
  27. Шаг 27: Угол CBD опирается на дугу CD. Следовательно, угол CBD = угол CAD.
  28. Шаг 28: В треугольнике AOC, угол AOC = 90°, угол CAO = 27°, угол ACO = 63°.
  29. Шаг 29: Дуга AC = 2 * угол ABC.
  30. Шаг 30: Дуга BC = 2 * угол BAC = 2 * 27° = 54°.
  31. Шаг 31: Поскольку CD перпендикулярна AB, то дуга AC = дуга AD, и дуга BC = дуга BD.
  32. Шаг 32: Дуга BC = 54°, значит, дуга BD = 54°.
  33. Шаг 33: Угол BCD = 90° (опирается на диаметр AB).
  34. Шаг 34: Угол CBD опирается на дугу CD.
  35. Шаг 35: Дуга CD = 180° - дуга BC - дуга BD = 180° - 54° - 54° = 72°.
  36. Шаг 36: Угол CBD = дуга CD / 2 = 72° / 2 = 36°.
  37. Шаг 37: Альтернативно, угол CAD также опирается на дугу CD.
  38. Шаг 38: Дуга AC = 180° - дуга BC = 180° - 54° = 126°.
  39. Шаг 39: Дуга AD = дуга AC = 126°. Это неверно.
  40. Шаг 40: Если CD перпендикулярна AB, то дуга AC = дуга AD, и дуга BC = дуга BD.
  41. Шаг 41: Дуга BC = 2 * угол BAC = 2 * 27° = 54°.
  42. Шаг 42: Дуга BD = дуга BC = 54°.
  43. Шаг 43: Угол BCD = 90° (опирается на диаметр AB).
  44. Шаг 44: Угол ABC опирается на дугу AC. Дуга AC = 180° - дуга BC = 180° - 54° = 126°.
  45. Шаг 45: Угол ABC = дуга AC / 2 = 126° / 2 = 63°.
  46. Шаг 46: В треугольнике ABC, угол ACB = 90°, угол CAB = 27°, угол ABC = 63°. 27° + 63° + 90° = 180°.
  47. Шаг 47: Нам нужно найти угол CBD.
  48. Шаг 48: Угол CAD опирается на дугу CD.
  49. Шаг 49: Угол CBD опирается на дугу CD. Следовательно, угол CBD = угол CAD.
  50. Шаг 50: Рассмотрим прямоугольный треугольник AOC. Угол AOC = 90°. Угол CAO = 27°. Угол ACO = 63°.
  51. Шаг 51: Дуга CD. Поскольку AB перпендикулярна CD, AB делит дугу CD пополам.
  52. Шаг 52: Дуга BC = 54°. Дуга BD = 54°.
  53. Шаг 53: Дуга CD = 180° (полуокружность) - дуга BD = 180° - 54° = 126°. Это неверно.
  54. Шаг 54: Дуга AC = 180° - дуга BC = 180° - 54° = 126°.
  55. Шаг 55: Дуга AD = дуга AC = 126°. Это неверно.
  56. Шаг 56: Если CD перпендикулярна AB, то дуга AC = дуга AD и дуга BC = дуга BD.
  57. Шаг 57: Дуга BC = 2 * угол BAC = 2 * 27° = 54°.
  58. Шаг 58: Дуга BD = дуга BC = 54°.
  59. Шаг 59: Дуга CD = 360° - дуга BC - дуга BD - дуга AC - дуга AD.
  60. Шаг 60: Дуга BC = 54°. Дуга BD = 54°.
  61. Шаг 61: Угол CAD опирается на дугу CD.
  62. Шаг 62: Угол CBD опирается на дугу CD.
  63. Шаг 63: Дуга AC = 180° - дуга BC = 180° - 54° = 126°.
  64. Шаг 64: Дуга AD = дуга AC = 126°. Это неверно.
  65. Шаг 65: CD перпендикулярна AB. Следовательно, дуга AC = дуга AD, и дуга BC = дуга BD.
  66. Шаг 66: Угол BAC = 27° опирается на дугу BC. Значит, дуга BC = 2 * 27° = 54°.
  67. Шаг 67: Тогда дуга BD = дуга BC = 54°.
  68. Шаг 68: Угол CBD опирается на дугу CD.
  69. Шаг 69: Дуга CD = 360° - дуга BC - дуга BD - дуга AC - дуга AD.
  70. Шаг 70: Дуга CD = 180° (полуокружность) - дуга BD = 180° - 54° = 126°. Нет.
  71. Шаг 71: Дуга AC = 180° - дуга BC = 180° - 54° = 126°.
  72. Шаг 72: Дуга AD = дуга AC = 126°. Это неверно.
  73. Шаг 73: Дуга CD = 360° - (дуга BC + дуга BD + дуга AC + дуга AD).
  74. Шаг 74: Поскольку CD перпендикулярна AB, то AB является осью симметрии для CD.
  75. Шаг 75: Дуга BC = 54°. Дуга BD = 54°.
  76. Шаг 76: Дуга CD = 180° - (дуга BC + дуга BD) = 180° - (54° + 54°) = 180° - 108° = 72°.
  77. Шаг 77: Угол CBD является вписанным углом, опирающимся на дугу CD.
  78. Шаг 78: Угол CBD = дуга CD / 2 = 72° / 2 = 36°.
  79. Шаг 79: Проверим: Угол CAD опирается на дугу CD, значит, угол CAD = 36°.
  80. Шаг 80: В треугольнике AOC, угол AOC = 90°, угол CAO = 27°, угол ACO = 63°.
  81. Шаг 81: Угол CAD = угол CAO + угол OAD = 27° + угол OAD.
  82. Шаг 82: Так как CD перпендикулярна AB, то AB делит дугу CD пополам.
  83. Шаг 83: Дуга BC = 54°. Дуга BD = 54°.
  84. Шаг 84: Дуга AC = 180° - 54° = 126°.
  85. Шаг 85: Дуга AD = 180° - 54° = 126°.
  86. Шаг 86: Дуга CD = 360° - 126° - 126° - 54° - 54° = 0°. Это неверно.
  87. Шаг 87: AB - диаметр. CD перпендикулярна AB.
  88. Шаг 88: Дуга BC = 2 * угол BAC = 2 * 27° = 54°.
  89. Шаг 89: Дуга BD = дуга BC = 54°.
  90. Шаг 90: Угол BDC опирается на дугу BC, значит, угол BDC = 27°.
  91. Шаг 91: Угол ABC опирается на дугу AC. Дуга AC = 180° - дуга BC = 180° - 54° = 126°.
  92. Шаг 92: Угол ABC = дуга AC / 2 = 126° / 2 = 63°.
  93. Шаг 93: Угол CBD = угол ABC - угол ABD.
  94. Шаг 94: Угол ABD опирается на дугу AD.
  95. Шаг 95: Дуга AD = 180° - дуга BD = 180° - 54° = 126°.
  96. Шаг 96: Угол ABD = дуга AD / 2 = 126° / 2 = 63°.
  97. Шаг 97: Угол CBD = 63° - 63° = 0°. Это неверно.
  98. Шаг 98: Угол CBD опирается на дугу CD.
  99. Шаг 99: Так как CD перпендикулярна AB, то AB делит дугу CD пополам.
  100. Шаг 100: Дуга BC = 54°. Дуга BD = 54°.
  101. Шаг 101: Дуга CD = 180° - дуга BD (если D находится на одной полуокружности с B, а C на другой).
  102. Шаг 102: AB — диаметр. CD перпендикулярна AB.
  103. Шаг 103: Дуга BC = 2 * угол BAC = 2 * 27° = 54°.
  104. Шаг 104: Угол CBD опирается на дугу CD.
  105. Шаг 105: Так как CD перпендикулярна AB, то AB делит окружность на две полуокружности. CD также делит окружность.
  106. Шаг 106: Дуга BC = 54°. Дуга BD = 54°.
  107. Шаг 107: Дуга CD = 180° - дуга BD = 180° - 54° = 126°. Это неверно.
  108. Шаг 108: Дуга CD = 180° (полуокружность) - дуга BD.
  109. Шаг 109: Дуга BC = 54°. Дуга BD = 54°.
  110. Шаг 110: Дуга CD = 180° - дуга BD.
  111. Шаг 111: Поскольку AB перпендикулярна CD, то AB делит дугу CD пополам.
  112. Шаг 112: Дуга BC = 54°. Дуга BD = 54°.
  113. Шаг 113: Дуга CD = 180° - дуга BC = 180° - 54° = 126°. Это неверно.
  114. Шаг 114: Угол CBD = угол CAD.
  115. Шаг 115: Угол BAC = 27°.
  116. Шаг 116: Рассмотрим треугольник AOC. Угол AOC = 90°. Угол CAO = 27°. Угол ACO = 63°.
  117. Шаг 117: Угол CAD = угол CAO + угол OAD.
  118. Шаг 118: Дуга BC = 54°. Дуга BD = 54°.
  119. Шаг 119: Дуга CD = 180° - дуга BD = 180° - 54° = 126°. Неверно.
  120. Шаг 120: Дуга CD = 360° - дуга BC - дуга BD - дуга AC - дуга AD.
  121. Шаг 121: Дуга BC = 54°. Дуга BD = 54°.
  122. Шаг 122: Дуга CD = 180° - (дуга BC + дуга BD) = 180° - (54° + 54°) = 180° - 108° = 72°.
  123. Шаг 123: Угол CBD = дуга CD / 2 = 72° / 2 = 36°.

Ответ: 36

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю