16 Ира заполнила полоску из 16 клеточек числами от 1 до 16 (рисунок 1). Потом Ира сложила полоску пополам (рисунок 2). Затем она ещё несколько раз таким же образом сложила полоску, пока не остался прямоугольник длиной в две клетки (рисунок 3). Ира проткнула иголкой клетку, в которой написано число 1, развернула полоску и посчитала сумму всех чисел, которые оказались в проколотых клетках. Какая сумма у неё получилась?

Решение:

Полоска из 16 клеток складывается пополам 4 раза, чтобы получился прямоугольник в две клетки. Это значит, что каждая проколотая клетка соответствует 4 клеткам исходной полоски.

Когда Ира проткнула клетку с числом 1, она проткнула 4 клетки исходной полоски. Эти клетки содержали числа 1, 2, 3, 4.

Чтобы узнать, какие числа оказались в проколотых клетках после каждого складывания, нужно рассмотреть, как числа распределяются при каждом складывании.

1. Первое складывание: Полоска 1-16 складывается пополам. Число 1 оказывается на одной из сторон. Если предположить, что складывание происходит так, что нижняя половина накладывается на верхнюю, то числа 1-8 будут над числами 9-16. Прокол в клетке с 1 затронет клетки 1 и 9 (если 1 слой поверх 2). Если же складывание происходит так, что правая половина накладывается на левую, то 1-8 складываются на 9-16.
2. Последующие складывания: Полоска складывается еще 3 раза.

Рассмотрим, какие числа окажутся под проколотой клеткой №1 после всех складываний.

• Сложение 1 (16 клеток → 8 клеток): Полоска складывается пополам. Числа 1-8 накладываются на 9-16. Если прокол проходит через 1, то он также проходит через 1+8=9.
• Сложение 2 (8 клеток → 4 клетки): Полученная полоска складывается пополам. Клетки 1 и 9 накладываются на клетки 2 и 10 (если сложение идет в одном направлении). Прокол через 1 теперь затрагивает 4 клетки: 1, 9, 2, 10.
• Сложение 3 (4 клетки → 2 клетки): Полоска складывается пополам. Прокол теперь затрагивает 8 клеток: 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12.
• Сложение 4 (2 клетки → 1 клетка): Полоска складывается пополам. Прокол через 1 теперь затрагивает все 16 клеток.

Однако, в условии сказано, что остался прямоугольник длиной в две клетки, а не в одну. Это значит, что полоска сложилась 3 раза, а не 4. Изначально 16 клеток. После 1-го сложения 8 клеток. После 2-го сложения 4 клетки. После 3-го сложения 2 клетки. Итого 3 складывания.

При каждом складывании, клетка, где была цифра 1, протыкает 2 клетки. После 1-го складывания (16 → 8) клетка 1 протыкает 1 и 9. После 2-го (8 → 4) протыкает 1, 9, 2, 10. После 3-го (4 → 2) протыкает 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12. Итого 8 проколотых клеток.

Сумма чисел в этих клетках: 1 + 9 + 2 + 10 + 3 + 11 + 4 + 12 = 52.

Перечитаем условие: «пока не остался прямоугольник длиной в две клетки». Это значит, что после последнего складывания получилось 2 клетки. Если исходно было 16, то складывалось 3 раза (16 → 8 → 4 → 2).

Когда Ира проткнула клетку с числом 1, это была клетка на верхнем слое. Иголка проткнула все слои в этой позиции.

Первое складывание (16 → 8): клетка 1 протыкает клетку 9. (2 клетки)

Второе складывание (8 → 4): клетка 1 протыкает клетку 2 и 10. (4 клетки)

Третье складывание (4 → 2): клетка 1 протыкает клетки 3, 11, 4, 12. (8 клеток)

Таким образом, проколотыми оказались клетки с числами: 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12. Сумма = 1+9+2+10+3+11+4+12 = 52.

Возможно, складывание происходило иначе. Если полоска складывается так, что нижние числа накладываются на верхние:

• 16 клеток.
• Сложение 1 (16 → 8): 1 накладывается на 16, 2 на 15, ..., 8 на 9. Прокол в 1 протыкает 16.
• Сложение 2 (8 → 4): 1 и 16 накладываются на 2 и 15. Прокол в 1 (и 16) протыкает 2 и 15.
• Сложение 3 (4 → 2): 1, 16, 2, 15 накладываются на 3, 14, 4, 13. Прокол в 1 (и 16, 2, 15) протыкает 3, 14, 4, 13.

Всего проколото 8 клеток: 1, 16, 2, 15, 3, 14, 4, 13. Сумма: 1+16+2+15+3+14+4+13 = 68.

Давайте проверим вариант (Б) 68.

Складывание 1: 16 клеток. Складываем пополам. Получаем 8. Числа 1-8 накладываются на 9-16. Если прокол идет через 1, то он задевает 1 и 9.

Однако, сказано, что осталось 2 клетки. Значит, складываний было 3.

1. 16 клеток → 8 клеток. Клетка 1 протыкает 1 и 9.

2. 8 клеток → 4 клетки. Клетка 1 протыкает 1, 9, 2, 10.

3. 4 клетки → 2 клетки. Клетка 1 протыкает 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12.

Сумма: 1 + 9 + 2 + 10 + 3 + 11 + 4 + 12 = 52.

Давайте рассмотрим другой вариант складывания.

16 клеток

Складывание 1 (16 → 8): Верхняя половина (1-8) накладывается на нижнюю (9-16). Клетка 1 протыкает 1 и 9.

Складывание 2 (8 → 4): Полученную полоску складываем. Числа 1 и 9 накладываются на 2 и 10. Клетка 1 протыкает 1, 9, 2, 10.

Складывание 3 (4 → 2): Полученную полоску складываем. Числа 1, 9, 2, 10 накладываются на 3, 11, 4, 12. Клетка 1 протыкает 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12.

Сумма: 1 + 9 + 2 + 10 + 3 + 11 + 4 + 12 = 52.

Если же складывание идет так, что нижняя часть накладывается на верхнюю:

16 клеток

Сложение 1 (16 → 8): Нижняя половина (9-16) накладывается на верхнюю (1-8). Клетка 1 протыкает 1 и 16.

Сложение 2 (8 → 4): Полученную полоску складываем. Числа 1 и 16 накладываются на 2 и 15. Клетка 1 протыкает 1, 16, 2, 15.

Сложение 3 (4 → 2): Полученную полоску складываем. Числа 1, 16, 2, 15 накладываются на 3, 14, 4, 13. Клетка 1 протыкает 1, 16, 2, 15, 3, 14, 4, 13.

Сумма: 1 + 16 + 2 + 15 + 3 + 14 + 4 + 13 = 68.

Ответ: 68