16. \(\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{3x - 5}\right)^{x}\)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Заметим, что при \(x \to \infty\), выражение \(1 - \frac{4}{3x - 5}\) стремится к 1, а степень \(x\) стремится к \(\infty\). Это неопределенность вида \(1^{\infty}\).
• Преобразуем основание степени: \(1 - \frac{4}{3x - 5} = 1 + \frac{-4}{3x - 5}\).
• Чтобы применить формулу замечательного предела, нам нужно, чтобы в знаменателе было \(\frac{1}{y}\). Выделим \(\frac{1}{3x - 5}\): \(1 + \frac{-4}{3x - 5} = \left(1 + \frac{1}{\frac{3x - 5}{-4}}\right)\).
• Теперь преобразуем показатель степени \(x\) так, чтобы он соответствовал знаменателю \(\frac{3x - 5}{-4}\). Для этого умножим и разделим показатель на \(\frac{3x - 5}{-4}\): \(x = x \cdot \frac{-4}{3x - 5} \cdot \frac{3x - 5}{-4} = \frac{-4x}{3x - 5} \cdot \frac{3x - 5}{-4}\).
• Подставим это в исходное выражение: \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{\frac{3x - 5}{-4}}\right)^{\frac{-4x}{3x - 5} \cdot \frac{3x - 5}{-4}}\).
• Перегруппируем: \(\lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{\frac{3x - 5}{-4}}\right)^{\frac{3x - 5}{-4}}\right]^{\frac{-4x}{3x - 5}}\).
• Обозначим \(y = \frac{3x - 5}{-4}\). При \(x \to \infty\), \(y \to \infty\). Тогда первая часть предела равна \(e\).
• Остается найти предел показателя степени: \(\lim_{x \to \infty} \frac{-4x}{3x - 5}\). Разделим числитель и знаменатель на \(x\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{-4}{3 - \frac{5}{x}} = \frac{-4}{3 - 0} = -\frac{4}{3}\).
• Таким образом, весь предел равен \(e^{-\frac{4}{3}}\).

Ответ: \(e^{-\frac{4}{3}}\).